Ile rozwiązań ma równanie?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
szymonides
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 24 lis 2009, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 4 razy

Ile rozwiązań ma równanie?

Post autor: szymonides »

Cześć!

Mam za zadanie dowiedzieć się ile rozwiązań ma równanie \(\displaystyle{ (n+1)x - \left\lfloor nx \right\rfloor = c}\).
Zakładam, ze wartości n, c są znane, tylko x jest niewiadomą.

Wydaje mi się, że należy rozbić to na dwa przypadki:
1) gdy \(\displaystyle{ nx \in\ZZ}\)
\(\displaystyle{ nx + x - \left\lfloor nx \right\rfloor = c}\)
\(\displaystyle{ x = c}\)
Zatem w tym przypadku mamy 1 rozwiazanie

1) gdy \(\displaystyle{ nx \not\in\ZZ}\)
\(\displaystyle{ nx + x - \left\lfloor nx \right\rfloor = c}\)
\(\displaystyle{ nx + x = c + \left\lfloor nx \right\rfloor}\)
\(\displaystyle{ x(n + 1) = c + \left\lfloor nx \right\rfloor}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ c + \left\lfloor nx \right\rfloor}{n + 1}}\)
Zatem w tym przypadku też mamy 1 rozwiązanie.

Więc w sumie mamy 2 możliwe rozwiązania tego równania.

Czy to rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie gdzie popełniłem błąd?
Jak powinno być poprawnie?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Ile rozwiązań ma równanie?

Post autor: Medea 2 »

Nie możesz napisać ostatniej równości z pożytkiem dla rozwiązania - \(\displaystyle{ x}\) zależy od \(\displaystyle{ x}\).

Zauważ, że \(\displaystyle{ (n+1) x - \lfloor nx \rfloor = nx + x - nx - \{nx\} = x - \{nx\} = c}\), czyli \(\displaystyle{ x - c = \{nx\}}\). Spróbuj zrobić wykres.
ODPOWIEDZ