Zapisz w prostszej postaci liczbę - suma z symbolem newtona

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
pessimik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 paź 2015, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Zapisz w prostszej postaci liczbę - suma z symbolem newtona

Post autor: pessimik »

Witam,
mam problem z uproszczeniem poniższego zapisu:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 3^{k}}\)

Rozwiązaniem zadania jest \(\displaystyle{ 4^n}\), ale uproszczając nie mogę dojść do tej postaci - byłbym wdzięczny za wszelkie wskazówki.
Ostatnio zmieniony 4 paź 2015, o 10:16 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Zapisz w prostszej postaci liczbę - suma z symbolem newtona

Post autor: Premislav »

Wskazówka: \(\displaystyle{ {n \choose k}3^{k}={n\choose k}3^{k}1^{n-k}}\)
Popatrz na wzór dwumianowy Newtona, to może coś Ci się rzuci w oczy.-- 3 paź 2015, o 21:29 --A rozwiązanie kombinatoryczne: umieszczasz \(\displaystyle{ n}\) banksterów świętujących ograbienie Polski w czterech hotelach (nawet mam nazwę jednego: Pelikan nad Wschodzącym Słońcem Syjonu), powiedzmy, że w każdym hotelu jest co najmniej \(\displaystyle{ n}\) wolnych miejsc. No to z jednej strony możesz to zrobić na \(\displaystyle{ 4^{n}}\) sposobów. A z drugiej strony możesz wybrać \(\displaystyle{ n-k}\) (k=0...n) spośród \(\displaystyle{ n}\) banksterów i umieścić ich np. w tym hotelu Pelikan nad Wschodzącym słońcem Syjonu, a pozostałych \(\displaystyle{ k}\) rozmieścić w trzech pozostałych hotelach.
pessimik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 3 paź 2015, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz

Zapisz w prostszej postaci liczbę - suma z symbolem newtona

Post autor: pessimik »

No tak:

\(\displaystyle{ \left(1+x\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}x^{k}}\)

Dzięki i miłego wieczoru!
Ostatnio zmieniony 4 paź 2015, o 10:19 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Zamieniam obrazek na LaTeX-a.
ODPOWIEDZ