wykazywanie równania

[ptysia12]

Proszę o pomoc:

Udowodnij, że jeżeli dla liczb \(\displaystyle{ a,b >0}\) prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b+1} = \frac{b}{a+1}}\) to
\(\displaystyle{ \frac{(a+b) ^{2} }{a ^{2} } + \frac{(a+b) ^{2} }{b ^{2} } =8}\)

z góry dziękuję za pomoc

[Kartezjusz]

Po wymnożeniu na krzyż założonej równości mamy \(\displaystyle{ a^{2}+a=b^{2}+b}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+a-b=(a-b)(a+b+1)=0}\) Stąd wynika, że równość zachodzi ,jak liczby są równe, albo sumują się do \(\displaystyle{ -1}\) ale drugi wypadek jest niewykonalny, bo obie są liczby dodatnie.
Wstawiając\(\displaystyle{ a=b}\) otrzymujemy żądaną równość

[ptysia12]

i wszystko jasne, banał jakich mało, bardzo dziękuję