Stała wartość wyrażenia.

[pawlo392]

Witam! Mam takie oto zadanie. Uzasadnij, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ x \in \left( -1;5\right)}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{4x ^{2}+12x+9 }+2 \sqrt{x ^{2}-12x+36 }}\) ma stałą wartość wyrażenia. Czy gdybym na maturze sprawdzał to wyrażenie po kolei dla liczb \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\) to egzaminator by mi to uznał ?

[AiDi]

Nie uznałby. Sprawdzasz dla konkretnych liczb, a \(\displaystyle{ x}\)-ów jest przecież nieskończenie wiele. Wyrażenia podpierwiastkowe trzeba zwinąć do pełnego kwadratu (wzory skróconego mnożenia).

[pawlo392]

Nie rozumiem, przecież sprawdzam dla x-ów wymienionych w poleceniu.

[Medea 2]

W ten sposób możesz "pokazać", że funkcja \(\displaystyle{ \sin (2\pi x)}\) jest stała, poprzez sprawdzenie jej wartości dla \(\displaystyle{ x \in \ZZ}\).

Niezrozumienie bierze się chyba z tego, że nie wiesz jeszcze, że \(\displaystyle{ (-1,5) = \{x \in \RR : -1 < x <5\}}\), a to jest co innego niż \(\displaystyle{ \{-1, 0, \ldots, 4, 5\}}\).

[pawlo392]

Niezrozumienie bierze się chyba z tego, że nie wiesz jeszcze, że \(\displaystyle{ (-1,5) = \{x \in \RR : -1 < x <5\}}\), a to jest co innego niż \(\displaystyle{ \{-1, 0, \ldots, 4, 5\}}\).

Tak, już rozumiem.
Czyli jeśli dobrze mi się wydaje mam to wyrażenie przedstawić jako wartość bezwzględną czyli :
\(\displaystyle{ \left| 2x+3\right|+\left| 2x-12\right|}\). I teraz można by rzecz że wyrażenie \(\displaystyle{ a=2x}\) jest takie samo w obu wartościach bezwzględnych dlatego biorę pod uwagę drugi składnik sumy i różnicy odpowiednio w wartościach. Czy dobrze myślę?

[AiDi]

Nie do końca rozumiem o co Ci chodzi. Wyrażenie masz dobrej postaci, teraz trzeba zauważyć, że w rozpatrywanym przedziale, wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. I trzeba, wiedząc to, odpowiednio pozbyć się modułów.

[pawlo392]

Nie do końca rozumiem o co Ci chodzi. Wyrażenie masz dobrej postaci, teraz trzeba zauważyć, że w rozpatrywanym przedziale, wyrażenie pod pierwszym modułem jest dodatnie, a pod drugim ujemne. I trzeba, wiedząc to, odpowiednio pozbyć się modułów.

No właśnie tak. Dzięki.