Szczególny zbiór

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ X= \{(a, b) \ 0< a, b <1 \ : 3a+7b \in Z \ \ 5a+b \in Z \}}\). Ile to \(\displaystyle{ |X|}\) ?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ |X|}\) to ilość elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\)

[a4karo]

W czym trudność?

[Medea 2]

Jeżeli \(\displaystyle{ 3a+7b}\) i \(\displaystyle{ 5a+b}\) są całkowite, to \(\displaystyle{ 3a-7 \cdot 5 a = -32a}\) też jest całkowita, zatem

\(\displaystyle{ a = \frac{k}{32}}\)

dla całkowitego \(\displaystyle{ k}\). Możemy jeszcze odjąć od \(\displaystyle{ 15a + 3b}\) liczbę \(\displaystyle{ 15a + 35b}\), zatem \(\displaystyle{ 32b}\) też jest całkowita i

\(\displaystyle{ b = \frac{l}{32}}\).

Pozostaje sprawdzić \(\displaystyle{ 31^2}\) ułamków... Żmudna praca. Pasuje trzydzieści jeden z nich, dla \(\displaystyle{ 1 \le k \le 31}\) oraz \(\displaystyle{ l = 27k}\) (modulo \(\displaystyle{ 32}\)).

[a4karo]

Przegięłaś, Medeo
Pierwsze wyrażenie może przyjmować dziewięć wartości, drugie 5. Pozostaje do rozwiązania 45 układów równań.

excel zrobi to w 5 minut

A jeszcze prościej narysować te 14 prostych na płaszczyźnie i zobaczyć, które punkty przecięcia wpadają do kwadratu jednostkowego.