Własności liczb

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Własności liczb

Post autor: pawlo392 »

Witam. Myślę nad takim zadaniem: Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych to liczba 5n również ma tę własność.
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2}=n}\)
\(\displaystyle{ 5( a^{2}+b ^{2})=5n}\)
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Własności liczb

Post autor: Chewbacca97 »

Wydaje mi się, że jedyne co musisz zrobić to zapisać \(\displaystyle{ 5a^2 + 5b^2}\) jako sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych. Trzeba pokombinować, np. kwadratem jednej liczby niech będzie: \(\displaystyle{ \left( a+2b\right)^2}\). Jaka będzie druga?
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2015, o 21:41 przez Chewbacca97, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Własności liczb

Post autor: pawlo392 »

Można by zapisać,że \(\displaystyle{ 5(a ^{2}+b ^{2})=(a ^{2}+4b ^{2} )+(4a ^{2} +b ^{2}}\)
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Własności liczb

Post autor: Chewbacca97 »

Chodziło mi o to:
\(\displaystyle{ \left( a+2b\right)^2 + x^2 = 5a^2 + 5b^2 \\ a^2 + 4ab + 4b^2 + x^2 = 5a^2 + 5b^2}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x^2}\) okaże się kwadratem liczby całkowitej, to zadanie rozwiązane.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1085
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 270 razy
Pomógł: 34 razy

Własności liczb

Post autor: pawlo392 »

No z tego co napisałeś uzyskałem że \(\displaystyle{ x ^{2}=(2a-b) ^{2}}\)
Awatar użytkownika
Chewbacca97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 464
Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 120 razy

Własności liczb

Post autor: Chewbacca97 »

Dokładnie, czyli:
\(\displaystyle{ \left( a+2b\right)^2 + \left( 2a-b\right)^2 = 5a^2 + 5b^2 = 5\left( a^2 + b^2\right)}\)
W ten sposób otrzymałeś to, co chciałeś.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

Własności liczb

Post autor: Ponewor »

Ogólniej iloczyn sum dwóch kwadratów jest sumą dwóch kwadratów (zaś pięć istotnie sumą dwóch kwadratów jest).
ODPOWIEDZ