Witam. Myślę nad takim zadaniem: Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych to liczba 5n również ma tę własność.
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2}=n}\)
\(\displaystyle{ 5( a^{2}+b ^{2})=5n}\)
Własności liczb
- Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
Własności liczb
Wydaje mi się, że jedyne co musisz zrobić to zapisać \(\displaystyle{ 5a^2 + 5b^2}\) jako sumę dwóch kwadratów liczb całkowitych. Trzeba pokombinować, np. kwadratem jednej liczby niech będzie: \(\displaystyle{ \left( a+2b\right)^2}\). Jaka będzie druga?
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2015, o 21:41 przez Chewbacca97, łącznie zmieniany 1 raz.
- Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
Własności liczb
Chodziło mi o to:
\(\displaystyle{ \left( a+2b\right)^2 + x^2 = 5a^2 + 5b^2 \\ a^2 + 4ab + 4b^2 + x^2 = 5a^2 + 5b^2}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x^2}\) okaże się kwadratem liczby całkowitej, to zadanie rozwiązane.
\(\displaystyle{ \left( a+2b\right)^2 + x^2 = 5a^2 + 5b^2 \\ a^2 + 4ab + 4b^2 + x^2 = 5a^2 + 5b^2}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x^2}\) okaże się kwadratem liczby całkowitej, to zadanie rozwiązane.
- Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
Własności liczb
Dokładnie, czyli:
\(\displaystyle{ \left( a+2b\right)^2 + \left( 2a-b\right)^2 = 5a^2 + 5b^2 = 5\left( a^2 + b^2\right)}\)
W ten sposób otrzymałeś to, co chciałeś.
\(\displaystyle{ \left( a+2b\right)^2 + \left( 2a-b\right)^2 = 5a^2 + 5b^2 = 5\left( a^2 + b^2\right)}\)
W ten sposób otrzymałeś to, co chciałeś.