Liczba cyfr

[mint18]

Ile cyfr ma liczba \(\displaystyle{ 2^{{2}^{16}}}\) ? Czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć krok po kroku z zastosowaniem logarytmów?

[Chewbacca97]

Logarytm dziesiętny informuje nas o liczbie cyfr. Cytując pewnego użytkownika, który mnie tej metody nauczył:

Rozwiązanie metodą brute force, ale szybkie i skuteczne

Przejdźmy więc do rzeczy: \(\displaystyle{ 2^{2^{16}} = 2^{65536}}\) oraz \(\displaystyle{ \log 2 = 0,301029}\).

\(\displaystyle{ \left\lfloor \log 2^{65536} \right\rfloor + 1 = \left\lfloor 65536 \cdot \log 2 \right\rfloor + 1 = \left\lfloor 65536 \cdot 0,301029 \right\rfloor + 1 = \\ = \left\lfloor 19728,2955 \right\rfloor + 1 = 19729}\)

Zatem liczba \(\displaystyle{ 2^{2^{16}}}\) ma \(\displaystyle{ 19729}\) cyfr.

[mint18]

Właśnie ja nie wiem dlaczego ta ilość cyfr wynika z logarytmów

[Chewbacca97]

Należy zauważyć, że liczby od \(\displaystyle{ 10}\) do \(\displaystyle{ 99}\) mają część całkowitą logarytmu dziesiętnego równą \(\displaystyle{ 1}\). Dalej liczby od \(\displaystyle{ 100}\) do \(\displaystyle{ 999}\) mają część całkowitą logarytmu dziesiętnego równą \(\displaystyle{ 2}\). Dalej liczby od \(\displaystyle{ 1000}\) do \(\displaystyle{ 9999}\) mają część całkowitą logarytmu dziesiętnego równą \(\displaystyle{ 3}\). Należy uogólnić tę obserwację.