dowód niewymierności

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
Kamila
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 16 lip 2006, o 13:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy

dowód niewymierności

Post autor: Kamila »

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest liczbą niewymierną.
Pomóżcie
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

dowód niewymierności

Post autor: Sylwek »

Do takich rzeczy stosuje się zwykle dowód nie wprost.

Aby liczb była wymierna, musiałaby być postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie p, q to liczby całkowite względnie pierwsze (nie posiadają wspólnego dzielnika całkowitego), czyli \(\displaystyle{ \frac{p}{q}=\sqrt{3}}\). Podnoszę teraz obustronnie do kwadratu: \(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}=3 \ \ p^2=3q^2}\). Liczba p^2 jest podzielna przez 3, więc liczba p też jest podzielna przez 3. Zapiszmy więc: p=3k. Podstawmy teraz do naszego wcześniejszego równania: \(\displaystyle{ (3k)^2=3q^2 \ \ 9k^2=3q^2 \ \ q^2=3k^2}\). Liczba q^2 jest podzielna przez 3, więc liczba q też jest podzielna przez 3, co przeczy naszym założeniom, bo p,q miały być względnie pierwsze, co kończy dowód i pokazuje, że ta liczba jest niewymierna.

Można też:
\(\displaystyle{ \frac{p}{q}=\sqrt{3} \\ \frac{p^2}{q^2}=3 \\ p p = 3 q q}\)
Tak więc w rozkładnie na liczby pierwsze po lewej stronie 3 nie występuje lub występuje parzystą liczbę razy, a po lewej nieparzystą. Sprzeczność.
Awatar użytkownika
Kamila
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 16 lip 2006, o 13:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy

dowód niewymierności

Post autor: Kamila »

Dzięki wielkie!
Ale oczywiście mam pytanie:
Sylwek pisze: \(\displaystyle{ p\cdot p=3 q\cdot q}\)
Tak więc w rozkładnie na liczby pierwsze po lewej stronie 3 nie występuje lub występuje parzystą liczbę razy, a po lewej nieparzystą. Sprzeczność.
Dlaczego jeżeli po lewej stronie 3 występuje parzystą liczbę razy, a po prawej nieparzystą, zachodzi sprzeczność? I skąd pewność, że po lewej 3 występuje parzystą liczbę razy? Trochę się pogubiłam w tym fragmencie
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

dowód niewymierności

Post autor: Sylwek »

Jeśli p dzieli się przez 3 - to w rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze trójka wystąpi m razy. W takim razie w liczbie p*p, trójka wystąpi m+m razy, czyli 2*m razy - parzysta ilość razy. Po prawej stronie - jeśli q jest podzielne przez 3, to w rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze trójka wystąpi n razy -> w liczbie q*q wystąpi 2*n razy, a w liczbie 3*q*q - 2*n+1 razy (zakładamy oczywiście, że m i n są całkowite). Przyrównajmy ilość trójek w rozkładzie na liczby pierwsze obu stron i wyliczmy m i n.:
\(\displaystyle{ 2m=2n+1 \\ m=\frac{2n+1}{2} \\ m=n+\frac{1}{2} \\ 2n=2m-1 \\ n=\frac{2m-1}{2} \\ n=m-\frac{1}{2}}\)

Co przeczy naszym założeniom, że zarówno m i n są całkowite. W ten sposób udowodniliśmy, że pierwiastek z trzech nie jest liczbą wymierną, czyli jest niewymierna.
ODPOWIEDZ