Liczby rzeczywiste.

[pawlo392]

Witam! Nie wiem czy poprawnie wykazuje pewne stwierdzenie.
Wykaż, że jeśli od kwadratu liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) odejmiemy iloczyn dwóch liczb całkowitych , których suma równa się \(\displaystyle{ 2a}\), to otrzymamy na wynik kwadrat liczby całkowitej.
Oznaczyłem sobie tak \(\displaystyle{ a ^{2}-k \cdot n=c ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ k+n=2a}\) z tego \(\displaystyle{ a= \frac{k+n}{2}}\). Podstawiłem to do głównego równania i otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{k ^{2}+2kn+n ^{2} }{4}-kn = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ k^{2}-2kn+n ^{2} }{4}=c ^{2} \\
\frac{(k-n) ^{2} }{4}=c ^{2} \\
(k-n) ^{2}=4c ^{2}}\)
Nie wiem czy dobrze to zrobiłem i co dalej..
Ciekawostka! Jest to zadanie z książki Stefana Banacha "Algebra dla klasy II gimnazjalnej" Lwów 1934 rok.

[Medea 2]

To zadanie ma prostsze rozwiązanie. Jeżeli suma dwóch liczb jest równa \(\displaystyle{ 2a}\), to liczby te są postaci \(\displaystyle{ a \pm b}\). Zatem

\(\displaystyle{ a^2 - (a-b)(a+b) = a^2 - (a^2 - b^2) =a^2-a^2 + b^2 = b^2}\).

[piasek101]

Albo z drugiego wyznacz np \(\displaystyle{ k}\) i wstaw do pierwszego - szukaj na lewej tego kwadratu.

[pawlo392]

To zadanie ma prostsze rozwiązanie. Jeżeli suma dwóch liczb jest równa \(\displaystyle{ 2a}\), to liczby te są postaci \(\displaystyle{ a \pm b}\). Zatem

\(\displaystyle{ a^2 - (a-b)(a+b) = a^2 - (a^2 - b^2) =a^2-a^2 + b^2 = b^2}\).

No tak, masz racje. Nie wpadłbym na to. Ale wykorzystam również radę piaska.

[a4karo]

Witam! Nie wiem czy poprawnie wykazuje pewne stwierdzenie.
Wykaż, że jeśli od kwadratu liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) odejmiemy iloczyn dwóch liczb całkowitych , których suma równa się \(\displaystyle{ 2a}\), to otrzymamy na wynik kwadrat liczby całkowitej.
Oznaczyłem sobie tak \(\displaystyle{ a ^{2}-k \cdot n=c ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ k+n=2a}\) z tego \(\displaystyle{ a= \frac{k+n}{2}}\). Podstawiłem to do głównego równania i otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{k ^{2}+2kn+n ^{2} }{4}-kn = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ k^{2}-2kn+n ^{2} }{4}=c ^{2} \\
\frac{(k-n) ^{2} }{4}=c ^{2} \\
(k-n) ^{2}=4c ^{2}}\)
Nie wiem czy dobrze to zrobiłem i co dalej..
Ciekawostka! Jest to zadanie z książki Stefana Banacha "Algebra dla klasy II gimnazjalnej" Lwów 1934 rok.

To "rozwiązanie" nie jest poprawne, bo nie wynika z niego, że \(\displaystyle{ c}\) jest całkowite. Wiemy tylkoo, że \(\displaystyle{ 2c}\) jest całkowite