Witam! Nie wiem czy poprawnie wykazuje pewne stwierdzenie.
Wykaż, że jeśli od kwadratu liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) odejmiemy iloczyn dwóch liczb całkowitych , których suma równa się \(\displaystyle{ 2a}\), to otrzymamy na wynik kwadrat liczby całkowitej.
Oznaczyłem sobie tak \(\displaystyle{ a ^{2}-k \cdot n=c ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ k+n=2a}\) z tego \(\displaystyle{ a= \frac{k+n}{2}}\). Podstawiłem to do głównego równania i otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{k ^{2}+2kn+n ^{2} }{4}-kn = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ k^{2}-2kn+n ^{2} }{4}=c ^{2} \\
\frac{(k-n) ^{2} }{4}=c ^{2} \\
(k-n) ^{2}=4c ^{2}}\)
Nie wiem czy dobrze to zrobiłem i co dalej..
Ciekawostka! Jest to zadanie z książki Stefana Banacha "Algebra dla klasy II gimnazjalnej" Lwów 1934 rok.
Liczby rzeczywiste.
- pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Liczby rzeczywiste.
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2015, o 21:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Liczby rzeczywiste.
To zadanie ma prostsze rozwiązanie. Jeżeli suma dwóch liczb jest równa \(\displaystyle{ 2a}\), to liczby te są postaci \(\displaystyle{ a \pm b}\). Zatem
\(\displaystyle{ a^2 - (a-b)(a+b) = a^2 - (a^2 - b^2) =a^2-a^2 + b^2 = b^2}\).
\(\displaystyle{ a^2 - (a-b)(a+b) = a^2 - (a^2 - b^2) =a^2-a^2 + b^2 = b^2}\).
- pawlo392
- Użytkownik
- Posty: 1085
- Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło/Kraków
- Podziękował: 270 razy
- Pomógł: 34 razy
Liczby rzeczywiste.
No tak, masz racje. Nie wpadłbym na to. Ale wykorzystam również radę piaska.Medea 2 pisze:To zadanie ma prostsze rozwiązanie. Jeżeli suma dwóch liczb jest równa \(\displaystyle{ 2a}\), to liczby te są postaci \(\displaystyle{ a \pm b}\). Zatem
\(\displaystyle{ a^2 - (a-b)(a+b) = a^2 - (a^2 - b^2) =a^2-a^2 + b^2 = b^2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Liczby rzeczywiste.
To "rozwiązanie" nie jest poprawne, bo nie wynika z niego, że \(\displaystyle{ c}\) jest całkowite. Wiemy tylkoo, że \(\displaystyle{ 2c}\) jest całkowitepawlo392 pisze:Witam! Nie wiem czy poprawnie wykazuje pewne stwierdzenie.
Wykaż, że jeśli od kwadratu liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) odejmiemy iloczyn dwóch liczb całkowitych , których suma równa się \(\displaystyle{ 2a}\), to otrzymamy na wynik kwadrat liczby całkowitej.
Oznaczyłem sobie tak \(\displaystyle{ a ^{2}-k \cdot n=c ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ k+n=2a}\) z tego \(\displaystyle{ a= \frac{k+n}{2}}\). Podstawiłem to do głównego równania i otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{k ^{2}+2kn+n ^{2} }{4}-kn = c ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ k^{2}-2kn+n ^{2} }{4}=c ^{2} \\
\frac{(k-n) ^{2} }{4}=c ^{2} \\
(k-n) ^{2}=4c ^{2}}\)
Nie wiem czy dobrze to zrobiłem i co dalej..
Ciekawostka! Jest to zadanie z książki Stefana Banacha "Algebra dla klasy II gimnazjalnej" Lwów 1934 rok.