Uzasadnić podzielność
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Uzasadnić podzielność
Niech \(\displaystyle{ l=km+r}\), \(\displaystyle{ r \in \left\{ 0,1,2, \dots , k-1\right\}}\) . Zauważamy z łatwością, że:
\(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{l}+1-n^{k}-1=n^{k}\left(n^{l-k}-1\right)}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ NWD\left(n^{k}+1,n^{k}\right)=1}\) zatem \(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{l-k}-1}\).
Stosując to rozumowanie dalej (być może wielokrotnie) stwierdzimy w końcu, że \(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{r}-1}\). To zaś, jak łatwo się przekonać, zachodzić może tylko i wyłącznie w przypadku gdy \(\displaystyle{ r=0}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ k|l}\).
\(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{l}+1-n^{k}-1=n^{k}\left(n^{l-k}-1\right)}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ NWD\left(n^{k}+1,n^{k}\right)=1}\) zatem \(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{l-k}-1}\).
Stosując to rozumowanie dalej (być może wielokrotnie) stwierdzimy w końcu, że \(\displaystyle{ n^{k}+1|n^{r}-1}\). To zaś, jak łatwo się przekonać, zachodzić może tylko i wyłącznie w przypadku gdy \(\displaystyle{ r=0}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ k|l}\).