Wielokrotnośc liczby pierwszej

[mint18]

Udowodnić, że dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) istnieją takie liczby całkowite \(\displaystyle{ x,y,z}\), że \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2}\) jest niezerową wielokrotnością \(\displaystyle{ p}\).

[bosa_Nike]

To zadanie w obecnej postaci ma bardzo słabe warunki. Wystarczy wziąć wielokrotności \(\displaystyle{ p}\), nie wszystkie równe zero, aby mieć tezę. Może trzeba coś dopisać do założeń?

[mint18]

Takie jest polecenie.

[Medea 2]

Weź \(\displaystyle{ x = y = z = p}\) Obędzie się bez armat pokroju twierdzenia Hassego-Minkowskiego.

[mint18]

A może ja coś przeoczyłem jednak Tylko jest problem bo nie mogę znaleźć tego zadania, ale poszukam, żeby się jeszcze raz upewnić

[Medea 2]

Sprawdź, czy w założeniach nie było warunku "\(\displaystyle{ p}\) nie dzieli żadnej z liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\)". Nie jestem pewna, ale odnoszę wrażenie, że wtedy zadanie robi się dużo trudniejsze, ale nadal nie jest poza Twoim zasięgiem.

Chwila wertowania książek (albo dwie) sprawiła, że znalazłam stosowną informację, szczególny przypadek twierdzenia Chevalleya-Warninga: dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p > 2}\) istnieje trójka \(\displaystyle{ x_0, y_0, z_0}\) liczb całkowitych (przy czym nie wszystkie są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\)), że \(\displaystyle{ x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 \equiv 0 \pmod p}\).