Porównaj liczby

[mint18]

Co jest większe \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2002} + \sqrt[3]{2004}}\) czy \(\displaystyle{ 2\sqrt[3]{2003}}\) ?

[Nakahed90]

Skorzystaj z faktu, ze \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}}\) jest ściśle wklęsła dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\).

[mint18]

No tak, widzę że ta druga liczba będzie większa, ale jak to "ładnie" pokazać korzystając z tego?

[Nakahed90]

Definicja ścisłej wklęsłości:
Funkcja f jest ściśle wklęsłą na przedziale [a,b] jeżeli:
\(\displaystyle{ (\forall x\neq y; \ x,y \in [a,b])(\forall \alpha \in (0,1))(f(\alpha x +(1-\alpha)y)>\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y))}\)

Wystarczy więc dobrać odpowiednie x,y oraz \(\displaystyle{ \alpha}\).

[mint18]

To ma związek z nierównością Jensena?

[Nakahed90]

Warunek wklęsłości ma, gdyż jest on tożsamy z nierównością Jensena dla n=2 (oczywiście musimy tu o wersji dla funkcji wklęsłej).

[mint18]

Ok tym sposobem bardzo łatwo dostajemy odpowiedź
A może ktoś ma pomysł na jakieś elementarne rozwiązanie?

[nelcia27]

Ja bym zrobiła tak:
Skoro obie liczby są większe od 1, to po podniesieniu każdej z nich do sześcianu relacja miedzy nimi pozostanie ta sama. Przyjmę oznaczenia: \(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{2002} + \sqrt[3]{2004} ; b=2\sqrt[3]{2003}}\). Mam wtedy: \(\displaystyle{ b ^{3}=8 \cdot 2003}\) i korzystając z wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^{3}=2002+2004+3 \sqrt[3]{2002 ^{2} \cdot 2004 }+3 \sqrt[3]{2004 ^{2} \cdot 2002 }=2 \cdot 2003+3(\sqrt[3]{2002 ^{2} \cdot 2004 }+\sqrt[3]{2004 ^{2} \cdot 2002 })}\).
Korzystając z nierówności miedzy średnią arytmetyczną i geometryczną trzech liczb mamy kolejno:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2002 ^{2} \cdot 2004 } \le 2002 \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2004 ^{2} \cdot 2002 } \le 2003 \frac{1}{3}}\)
jednak równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby, których średnie porównujemy, są takie same.
Stąd: \(\displaystyle{ a ^{3}<2 \cdot 2003+3(2002 \frac{2}{3}+2003 \frac{1}{3})=8 \cdot 2003= b^{3}}\)

[a4karo]

MOżna i tak: z twierdzenia o wartości średniej

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2004}-\sqrt[3]{2003}=\frac{1}{3}\xi_1^{-2/3}}\) gdzie \(\displaystyle{ 2003<\xi_1<2004}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2003}-\sqrt[3]{2002}=\frac{1}{3}\xi_2^{-2/3}}\) gdzie \(\displaystyle{ 2002<\xi_2<2003}\)

A ponieważ funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{3}x^{-2/3}}\) jest malejąca ....

[Michalinho]

Można też z Karamaty

Dla pałkarzy:    

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[3]{x}}\) jest wklęsła dla dodatnich, a ciąg \(\displaystyle{ (2004, 2002)}\), majoryzuje \(\displaystyle{ (2003,2003)}\), stąd \(\displaystyle{ f(2004)+f(2002)\le f(2003)+f(2003)}\). Rowność nie zachodzi, więc prawa jest większa.

A najbardziej elementarny sposób:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2004}-\sqrt[3]{2003}=\frac{2004-2003}{\sqrt[3]{2004^2}+\sqrt[3]{2004\cdot 2003}+\sqrt[3]{2003^2}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2003}-\sqrt[3]{2002}=\frac{2003-2002}{\sqrt[3]{2003^2}+\sqrt[3]{2003\cdot 2002}+\sqrt[3]{2002^2}}}\)

I oczywiście mianownik pierwszej różnicy jest większy niż drugiej. Stąd:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2004}-\sqrt[3]{2003}<\sqrt[3]{2003}-\sqrt[3]{2002}\Leftrightarrow \sqrt[3]{2004}+\sqrt[3]{2002}<2\sqrt[3]{2003}}\)