\(\displaystyle{ x^5+y^5-(x+y)^3=0 \Leftrightarrow (x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4-y^2-2xy-x^2)=0}\)
otrzymuje \(\displaystyle{ x+y=0}\)(,co daje rozwiązania \(\displaystyle{ (k,-k)}\)) lub \(\displaystyle{ x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4-y^2-2xy-x^2=0 \\ \Leftrightarrow x^4+2x^2y^2+y^4-xy(x^2+y^2)-x^2y^2-2xy-x^2-y^2=0 \\ \Leftrightarrow (x^2+y^2)^2-xy(x^2+y^2) -x^2-y^2-1-2xy-x^2y^2+1=0 \\ \Leftrightarrow (x^2+y^2)^2-(1+xy)(x^2+y^2)-(1+xy)^2+1=0}\)
Zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ u=1+xy \ v=x^2+y^2}\). Wtedy otrzymuje \(\displaystyle{ v^2-uv-u^2+1=0}\) Rozwiązując względem \(\displaystyle{ v}\) otrzymuje \(\displaystyle{ v=\frac{u+\sqrt{5u^2-4}}{2}}\) lub \(\displaystyle{ v=\frac{u-\sqrt{5u^2-4}}{2}}\). Rozważmy przypadek drugi \(\displaystyle{ x^2+y^2=v \ge 0 \Leftrightarrow \frac{u-\sqrt{5u^2-4}}{2}\ge 0 \Leftrightarrow u \ge \sqrt{5u^2-4}}\) Jeżeli \(\displaystyle{ u}\) jest niedodatnie otrzymuje sprzeczność,czyli \(\displaystyle{ u \ge 1}\), więc mogę podnieść do kwadratu. \(\displaystyle{ u^2 \ge 5u^2-4 \Leftrightarrow 0 \ge 4u^2-4}\) Co spełnione jest dla \(\displaystyle{ u=1}\) (\(\displaystyle{ u>0}\)). Sprawdzając \(\displaystyle{ u=1}\) otrzymuje rozwiązania \(\displaystyle{ (0, \pm 1),(\pm 1,0)}\)
Rozważmy teraz pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ (x-y)^2=v-2u+2}\) Co daje \(\displaystyle{ v-2u+2 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{u+\sqrt{5u^2-4}}{2} \ge 2u-2 \Leftrightarrow \sqrt{5u^2-4} \ge 3u-4}\) Jeżeli \(\displaystyle{ u \ge 2}\) to mogę podnieć do kwadratu otrzymując: \(\displaystyle{ 0 \ge 4u^2-24u+20 \Leftrightarrow 0 \ge 4(u-5)(u-1)}\)Co daje w całkowitych \(\displaystyle{ u=2,3,4,5}\) z kolei to daje rozwiązania \(\displaystyle{ (2,2) , (-2,-2)}\). \(\displaystyle{ u=1}\) już rozpatrzyłem, \(\displaystyle{ u=0}\) daje \(\displaystyle{ v}\) zespolone, co pozostawia \(\displaystyle{ u \le -1}\). \(\displaystyle{ (x+y)^2=v+2u-2 \ge 0 \Rightarrow v \ge 2-2u \Rightarrow \sqrt{5u^2-4}\ge 4-5u}\) Mając na uwadze \(\displaystyle{ u\le -1}\) można podnieść do kwadratu. \(\displaystyle{ 5u^2-4 \ge 25n^2-40u+16 \Leftrightarrow 0 \ge 20(u-1)^2}\) daje to \(\displaystyle{ u=1}\) co było już rozpatrzone.
Zauważamy, że jeżeli rozwiązaniem jest para \(\displaystyle{ (x,y)}\), to również \(\displaystyle{ (-x,-y)}\), czyli w przypadku \(\displaystyle{ xy\ge 0}\) WLOG \(\displaystyle{ x\ge y\ge 0}\).
Mamy \(\displaystyle{ (x+y)^3\le (x+x)^3=8x^3}\), a z drugiej strony \(\displaystyle{ x^5+y^5\ge x^5}\), więc \(\displaystyle{ 0\le x\le 2}\) i wystarczy podstawić trzy wartości iksa.
W przypadku \(\displaystyle{ xy< 0}\) niech \(\displaystyle{ y=-t<0}\) i całość się zwija do oczywistego
Moja metoda jest bardziej pod rozwiązywanie w \(\displaystyle{ \RR}\) niż w \(\displaystyle{ \ZZ}\), bo da się otrzymać następującą parametryzacje równania: \(\displaystyle{ x= \frac{\sqrt{v+2u-2}+\sqrt{v-2u+2}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{u \pm \sqrt{5u^2-4}}{2}+2u-2}+\sqrt{\frac{u\pm \sqrt{5u^2-4}}{2}-2u+2}}{2} \\
y= \frac{\sqrt{v+2u-2}-\sqrt{v-2u+2}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{u \pm \sqrt{5u^2-4}}{2}+2u-2}-\sqrt{\frac{u\pm \sqrt{5u^2-4}}{2}-2u+2}}{2}}\)
Tylko określenie kiedy wyrażanie pod pierwiastkiem jest ujemne może być problematyczne, a i tak to chyba nie rozwiązuje sprawę kiedy rozwiązania są rzeczywiste dla danego \(\displaystyle{ u}\).
