Układ równań diofantycznych

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ x, y, z \in Z}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z =6\\ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}= 2 - \frac{4}{xyz} \end{cases}}\)
?

[kerajs]

Tylko dla trójki \(\displaystyle{ (2,2,2)}\).

[Chewbacca97]

kerajs, ja też tylko tę trójkę znalazłem, ale jak udowodnić, że innych rozwiązań nie ma?

[kerajs]

Rozważam trzy przypadki:

1. Trzy liczby całkowite dodatnie spełniające pierwsze równanie .
Mam do sprawdzenia trójki \(\displaystyle{ (1,1,4) \ (1,2,3) \ (2,2,2)}\) i tylko trzecia trójka spełnia układ.

2. Dwie dodatnie liczby całkowite i jedna ujemna spełniające pierwsze równanie .
Wtedy w drugim równaniu zachodzi:
\(\displaystyle{ L= \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z} <2}\)
(jest tak już dla dwóch jedynek i dowolnej ujemnej, a przecież obie dodatnie nie mogą być równocześnie jedynkami )
\(\displaystyle{ P=2+\left| \frac{4}{xyz}\right| >2}\)
czyli brak rozwiązania.

3. Jedna dodatnia i dwie ujemne liczby całkowite spełniające pierwsze równanie .
Wtedy w drugim równaniu zachodzi:
\(\displaystyle{ L= \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z} < \frac{1}{8}}\)
(bo najmniejszą dodatnią jest wtedy 8)
\(\displaystyle{ P=2- \frac{4}{xyz} \ge 1,5}\)
(ułamek jest największy dla dwóch minus jedynek i ósemki, dla innych jest mniejszy)
Czyli tu też brak rozwiązania.


Konkludując: jest tylko jedno rozwiazanie \(\displaystyle{ x=y=z=2}\)