Sposoby rozwiązania pewnego zadania

[mint18]

Wykazać, że dla dowolnego całkowitego \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ n^2 + 5n +1}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 49}\).

Chyba nie jest to jakieś szczególne zadanie, może ktoś zna jakieś ciekawe, sprytne albo wręcz przeciwnie, rozwiązania tego? Ja pokaże dwa podobne do siebie

1) \(\displaystyle{ n^2+5n+1=(n-1)^2+7n}\), gdyby ta liczba była podzielna przez \(\displaystyle{ 49}\), to na pewno byłaby podzielna przez 7. Więc \(\displaystyle{ n-1}\) musiałoby być podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\), czyli dla pewnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ n=7a+1}\). Wtedy jednak \(\displaystyle{ n^2+5n+1=49a^2+49+7}\) i z tej równości wynika teza zadania.

2) Jeśli podstawimy \(\displaystyle{ n=k+1}\) to \(\displaystyle{ n^2+5n+1 = k^2+7k+7}\), no i dalej \(\displaystyle{ 7|k}\) więc \(\displaystyle{ k=7a}\) i dostajemy identyczną równość jak w pierwszym sposobie.

Ktoś jakieś inne pomysły?

[marcin7Cd]

Można jeszcze zrobić tak.
Załóżmy nie wprost, że
\(\displaystyle{ 49|n^2+5n+1 \Leftrightarrow 49|4n^2+20n+4 \Leftrightarrow 49|(2n+5)^2-21 \Rightarrow \\ \Rightarrow 7|(2n+5)^2 \Rightarrow 7|2n+5 \Rightarrow 49|(2n+5)^2}\)
to daje speczność, bo \(\displaystyle{ 49|(2n+5)^2-21}\)

[vpprof]

1) \(\displaystyle{ n^2+5n+1=(n-1)^2+7n}\), gdyby ta liczba była podzielna przez \(\displaystyle{ 49}\), to na pewno byłaby podzielna przez 7. Więc \(\displaystyle{ n-1}\) musiałoby być podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\), czyli dla pewnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ n=7a+1}\). Wtedy jednak \(\displaystyle{ n^2+5n+1=49a^2+49+7}\) i z tej równości wynika teza zadania.

Szczerze mówiąc, nie rozumiem, dlaczego to ma dowodzić tezy zadania. Ja to widzę tak:
oznaczmy \(\displaystyle{ W=n^2+5n+1=(n-1)^2+7n}\)

1. \(\displaystyle{ 49|W \rightarrow 7|W}\) — zgadzam się.
2. \(\displaystyle{ 7|W \leftrightarrow 7|(n-1)}\) — zgadzam się.
3. \(\displaystyle{ 7|(n-1) \leftrightarrow \exists a \in \ZZ : 7a+1=n}\) — zgadzam się.
4. \(\displaystyle{ 7|W \leftrightarrow 7|(49a^2+49a+7)}\) — i to jest oczywiście prawda. Zatem \(\displaystyle{ 7|W}\), czyli następnik implikacji z pkt. „a” jest prawdziwy. Ale to nie mówi nic o poprzedniku, czyli w szczególności nie dowodzi ani że \(\displaystyle{ 49|W}\) ani że \(\displaystyle{ \neg 49|W}\)…

[Medea 2]

Zakładamy (nie wprost), że \(\displaystyle{ 49}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n^2 + 5n + 1 = (n-1)^2 + 7n}\). Wtedy \(\displaystyle{ 7}\) też jest dzielnikiem tej liczby (bo \(\displaystyle{ 7 \mid 49}\)). Skoro \(\displaystyle{ 7 \mid (n-1)^2 + 7n}\) i \(\displaystyle{ 7 \mid 7n}\), to \(\displaystyle{ 7}\) dzieli też ich różnicę, \(\displaystyle{ (n-1)^2}\). Korzystamy z faktu: jeśli pierwsza liczba dzieli iloczyn dwóch liczb całkowitych, to dzieli też jeden z czynników. Tutaj czynnikiem jest \(\displaystyle{ n-1}\). Jeżeli \(\displaystyle{ 7 \mid n-1}\), to \(\displaystyle{ n}\) jest postaci \(\displaystyle{ 7a+1}\) dla całkowitego. Wtedy \(\displaystyle{ (n-1)^2 + 7n = 49a^2 + 49a + 7}\). Wiemy, że ta liczba dzieli się przez \(\displaystyle{ 49}\). Liczba \(\displaystyle{ 49a^2 + 49a}\) też dzieli się przez \(\displaystyle{ 49}\), więc ich różnica również. Ale różnica to \(\displaystyle{ 7}\) i "jednak" się nie dzieli, czyli doszliśmy do sprzeczności.

[vpprof]

No tak, oczywiście, racja, po prostu zawsze (dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in\ZZ}\)): \(\displaystyle{ 49a^2+49a+7=7 \pmod{49}}\).