Sumy kwadratów kolejnych liczb

[mol_ksiazkowy]

Czy i jakie i dla jakich \(\displaystyle{ n}\) :
\(\displaystyle{ a^2+ (a+1)^2+…+ (a+n)^2 = b^2}\)
ma rozwiązania w zbiorze \(\displaystyle{ N}\) ?
np. jeśli \(\displaystyle{ n=2}\) to \(\displaystyle{ (a-1)^2+ a^2+ (a+1)^2 =3a^2 +2 \equiv 2 \ ( \mod 3) \neq b^2}\)
itp.

Ukryta treść:    

Jako rozwinięcie zadania nr 4 z Nierozwiązanych…

[patryk00714]

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}(a+i)^2=\sum_{k=1}^{a+n}k^2-\sum_{k=1}^{a-1}k^2=\frac{1}{6}(a+n)(2a+2n+1)(a+n+1)-\frac{1}{6}(a-1)(2a-1)a}\)

może coś z tego wyjdzie

[Medea 2]

Komputer znalazł kilka rozwiązań, ale raczej nie udowodni, że dla któregoś \(\displaystyle{ n}\) rozwiązań nie ma wcale. Po lewej \(\displaystyle{ n}\), po prawej najmniejsze dobre \(\displaystyle{ a}\).

Ukryta treść:    

Kod: Zaznacz cały

 1 | 5
10 | 77
22 | 92
23 | 70
25 | 195
32 | 143
46 | 3854
48 | 357
49 | 245
58 | 413
72 | 4088
73 | 2257
87 | 2222
95 | 652
96 | 679

To wystarcza do poszperania w OEIS:

Kod: Zaznacz cały

https://oeis.org/A076215

,

Kod: Zaznacz cały

https://oeis.org/A007475

, [url=https://oeis.org/A001032]trzy[/url].

[mol_ksiazkowy]

Udowodniono też, że: jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest taka, że \(\displaystyle{ m =\frac{k^2-1}{48 } \in N}\) (np. \(\displaystyle{ k=7}\)) to dla \(\displaystyle{ a=23m+1}\): \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{k^2} (a+i)^2= (k(49m+2))^2}\)

Ukryta treść:    

źródło: W Bednarek- Szkice o liczbach, funkcjach i figurach

[mol_ksiazkowy]

Inny problem:
Czy jeśli dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\) równanie to ma rozwiazanie, to czy ma ich nieskończoną ilość ?

[mol_ksiazkowy]

Komputer znalazł kilka rozwiązań, ale raczej nie udowodni, że dla któregoś n rozwiązań nie ma wcale.

Jak udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ y \in N}\) iż \(\displaystyle{ 38^2+...+48^2 = y^2}\)
(bez nudnego sumowania i tp)
i jak udowodnić, że rozwiązań jest nieskończona ilość (tj. względem) \(\displaystyle{ n}\) ?