Teorio liczbowa gra\experyment

[marcin7Cd]

wpadłem na pomysł gry. sądzę, że może być ciekawa.

Gra ma przebiegać następująco:
Będziemy wymieniać nieskończone podzbiory liczb całkowitych dodatnich lub rodziny takich podzbiorów. Aby wyeliminować podawanie podobnych i nudnych podzbiorów, każdy podany podzbiór nie może być otrzymany z poprzednio podanych za pomocą operacji:
1) Sumy, iloczynu i różnicy zbiorów
2) dodania lub usunięcia skończonej liczby elementów
3) dodania do każdego elementu pewnej określonej liczby całkowitej
4) pomnożenia każdego elementu przez pewną określoną liczbę wymierną

Np. Podając zbiór liczb całkowitych dodatnich dających resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) , gdzie \(\displaystyle{ n\ge 1}\). Nie mogę już podać zbioru liczb całkowitych dodatnich dających resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ n>2}\), bo mogę otrzymać go dodając do poprzedniego \(\displaystyle{ 1}\).

Wyjątkiem od tej reguły są podzbiory, które są identyczne z podanymi wcześniej. Odpowiedź musi zawierać podzbiór, który nie pojawił się wcześniej. Ma to na celu zachęcić podawanie jak najogólniejszych rodzin.

Aby wyeliminować podawanie za ogólnych rodzin muszą być one zbiorem przeliczalnym. Oznacza to, że wykluczam podanie wszystkich podzbiorów nieskończonych \(\displaystyle{ Z_+}\) albo wszystkich podzbiorów nieskończonych (\(\displaystyle{ Z_{+}}\)) zawierających \(\displaystyle{ 1}\) itd. .

Przebieg rozgrywki i punktacja
Każdy kto chce podaje podzbiór lub rodzinę podzbiorów. Za podanie podzbioru lub rodziny przyznawany jest 1 ptk. . Jeżeli ktoś udowodni, że chociaż jeden podany podzbiór (lub gdy rodzina taki podzbiór zawiera) jest nieprawidłowy to dostaje 1 ptk. Użytkownik, który taki podzbiór zaproponował traci punty przyznane mu za odpowiedź i dodatkowo traci 1 ptk., a odpowiedź przestaje być uznawana.

Możemy rozpocząć grę jutro o 16:00. Na razie zachęcam do dyskusji i podawania sugestii dodatkowych zasad, aby gra nie była za nudna.

Edit: usunąłem zasadę przyznającą dodatkowe punkty za podanie wielokrotnie tego samego podzbioru

[Medea 2]

Będziemy podawać zbiory pojedynczo (np. \(\displaystyle{ \{\lfloor \pi \cdot 10^n\rfloor : n \in \NN\}}\) czy całe rodziny? Jeżeli to drugie, to na czym będzie polegać roz(g)rywka?

[marcin7Cd]

Można podawać rodziny lub podzbiory. Odpowiedz jest punktowana tzn. za podanie rodziny lub podzbioru jest przyznawany 1 ptk. .Aby uniknąć podawania pojedynczo podzbiorów lub bardzo podobnych rodzin np. najpierw \(\displaystyle{ \{ 2n :n \in Z_{+} \}}\) potem \(\displaystyle{ \{ 3n : n \in Z_{+} \}}\) itd. . wprowadziłem zasadę dającą dodatkowe punkty za podanie rodzin, które uogólniają (zawierają już podane) np. \(\displaystyle{ \{ \{mn: n\in Z_{+} \}: m \in Z_{+} \}}\). Jednak dochodzę do wniosku, że dodatkowych punktów nie potrzeba, bo podanie rodziny uniemożliwia innym taką nieskończoną kontynuacje.

Idea całej zabawy jest podawanie ciekawych zbiorów i zdobywanie jak największej ilości punktów. Dla przykładu jak ty podałeś podzbiór \(\displaystyle{ \{\lfloor \pi \cdot 10^n\rfloor : n \in \NN\}}\), to ja mogę podać wszystkie podzbiory postaci\(\displaystyle{ \{ \lfloor m \cdot 10^n \rfloor : n \in Z_{+} \}}\) , gdzie \(\displaystyle{ m \in R_{+} \setminus Q}\) wtedy uniemożliwiam ci zdobywanie nieskończeniu wiele punktów prze zamienienie \(\displaystyle{ \pi}\) na \(\displaystyle{ \pi^2}\) albo na \(\displaystyle{ \pi^3}\). Jednak, gdy podałem taką rodzinę to możesz powiedzieć, że rodzina, którą podałem jest za duża, bo jest nie przeliczalna i dostajesz punkty. To wtedy ja muszę wykombinować na tyle dużą rodzinę, że nie wymyślisz analogi(którą nie podałem) do swojej odpowiedzi oraz na tyle małą, aby była przeliczalna. Jednocześnie muszę uważać, aby nie podać podzbioru (lub rodziny zawierającej tak podzbiór), który można otrzymać za pomocą operacji, które podałem.

[wielkireturner]

Muszę przyznać, że zaintrygowałeś mnie.

[marcin7Cd]

Jest 16:00, więc można rozpocząć grę.
Podaje zbiory \(\displaystyle{ \{kn:n\in Z_+\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in Z_+}\).

[Medea 2]

Nadal nie za bardzo wiem, o co chodzi

• \(\displaystyle{ \{n \cdot k : n \in \ZZ_+\}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ_+}\)
• \(\displaystyle{ \{a^b : a > 1\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{b^a : a>1\}}\) dla \(\displaystyle{ b > 1}\)

[marcin7Cd]

To ja odpowiadam tak:

• \(\displaystyle{ \{n \cdot k : n \in \ZZ_+\}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ_+}\)
• \(\displaystyle{ \{a^b : a > 1\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{b^a : a>1\}}\) dla \(\displaystyle{ b > 1}\)
• \(\displaystyle{ \{x^n+y^n:x,y \in \ZZ_+ \}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \ZZ_+ \setminus \{1\}}\)

Po prostu jestem ciekaw czy gra zwolni, bo będzie trudno wymyślić jakiś podzbiór. Czy może zawsze będzie można wymyślić jakiś podzbiór.

[Medea 2]

Trudno powiedzieć. Mówiłeś coś o uogólnieniach, prawda?

• \(\displaystyle{ \{n \cdot k : n \in \ZZ_+\}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ_+}\)
• \(\displaystyle{ \{a^b : a > 1\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{b^a : a>1\}}\) dla \(\displaystyle{ b > 1}\)
• \(\displaystyle{ \{x^n+y^n:x,y \in \ZZ_+ \}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \ZZ_+ \setminus \{1\}}\)
• Niech \(\displaystyle{ P_n}\) będzie rodziną wszystkich wielomianów nad \(\displaystyle{ \ZZ}\) zależnych od \(\displaystyle{ n}\) zmiennych. Podaję \(\displaystyle{ \textstyle \bigcup_{n=1}^\infty \{f(\ZZ^n) : f \in P_n\}}\)

Wygląda na to, że jest dobrze pod względem formalnym. Uogólniłam swój drugi przykład i Twój (trzeci): rodzina obrazów \(\displaystyle{ \ZZ \times \ldots \times \ZZ}\) przez funkcje wielomianowe.

[marcin7Cd]

Trzeba uważać na założenia. Używasz zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\), a on ma też liczby ujemne, więc biorąc wielomian \(\displaystyle{ f(x)=x}\) otrzymuje zbiór \(\displaystyle{ \ZZ}\), który jest podzbiorem \(\displaystyle{ \ZZ_+}\)
Edit:Twoja odpowiedź się nie liczy. popraw ją.-- 8 sie 2015, o 10:48 --Miałem na myśli, że biorąc \(\displaystyle{ f(x)=x}\) otrzymuje zbiór \(\displaystyle{ \ZZ}\) (w twojej rodzinie), który nie jest podzbiorem \(\displaystyle{ \ZZ_+}\) Dlatego twoja odpowiedź przestaje się liczyć, więc możesz dać nową. Jak ktoś chce to może się włączyć do eksperymentu.