Mamy: \(\displaystyle{ x|(yz-1), y|(zx-1), z|(xy-1)}\)
skąd: \(\displaystyle{ xyz| (xy-1)(yz-1)(zx-1)}\)
z czego łatwo wynika, że: \(\displaystyle{ xyz|(xy+yz+zx-1)}\)
czyli dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego: \(\displaystyle{ xy+yz+zx-1=kxyz}\)
lub równoważnie: \(\displaystyle{ \frac 1x + \frac 1y + \frac 1z = k + \frac{1}{xyz}}\)
Lewa strona jest równa co najwyżej \(\displaystyle{ \frac 32}\), tak więc musi być \(\displaystyle{ k=1}\). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ x\ge 3}\), to lewa strona jest równa co najwyżej \(\displaystyle{ 1}\), co jest niemożliwe. Tak więc \(\displaystyle{ x=2}\) i mamy: \(\displaystyle{ yz+2y+2z-1= 2yz}\)
lub równoważnie: \(\displaystyle{ (y-2)(z-2)=3}\)
skąd oczywiście \(\displaystyle{ y=3, z=5}\).
Łatwo sprawdzić, że trójka \(\displaystyle{ x=2,y=3,z=5}\) istotnie spełnia podany układ, zatem jest to jego jedyne rozwiązanie.
