Zapis dziesiętny

[mint18]

Wykaż, że do dowolnej liczby naturalnej w zapisie dziesiętnym, można dopisać (na końcu) pewną liczbę cyfr tak, aby otrzymać sześcian liczby naturalnej.

[bakala12]

Dowód:
Niech ciąg cyfr od których ma się zaczynać nasz sześcian będzie kolejnymi cyframi liczby \(\displaystyle{ m}\). Wystarczy udowodnić że istnieją \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) takie, że:
\(\displaystyle{ m\cdot 10^{k} \le n^{3} < \left(m+1\right) \cdot 10^{k}}\), czyli równoważnie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{m}\cdot 10^{\frac{k}{3}} \le n <\sqrt[3]{m+1}\cdot 10^{\frac{k}{3}}}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m}>0}\). Istnieje zatem takie \(\displaystyle{ l}\) naturalne, że
\(\displaystyle{ x>10^{-l}}\)
Jak łatwo się przekonać wystarczy wziąć zatem jakiekolwiek \(\displaystyle{ k>3l}\) i nierówność równoważna tezie działa, co kończy dowód.
Udowodniłem nawet że sześcianów zaczynających się dowolnym skończonym ciągiem cyfr jest nawet nieskończenie wiele.
Mniam
Bonus:
... ch_dwojki/