Udowodnić, że liczba nie jest wymierna. Czy jest poprawnie?

[mint18]

Niech \(\displaystyle{ {x}}\) oznacza część ułamkową liczby \(\displaystyle{ x}\). Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \left\{ a\right\} + \left\{ \frac{1}{a}\right\} =1}\) to \(\displaystyle{ a}\) nie jest liczbą wymierną.

Moje rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ [y]}\) będzie największą liczbą całkowitą nie większą od \(\displaystyle{ y}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left\{ y\right\} =y-[y]}\).
Równanie przyjmuje postać \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} = 1 + [a] + \left[\frac{1}{a}\right]}\)
Wynika stąd, że liczba \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a}}\) jest całkowita. Podstawmy \(\displaystyle{ 1 + [a] + \left[\frac{1}{a}\right]=c}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest całkowite.

Mamy \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} = c}\), dalej \(\displaystyle{ a^2-ac+1=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ a}\), byłoby liczbą wymierną to przyjmowało by jedną z wartości \(\displaystyle{ \left\{ -1, 1\right\}}\), jednak one nie spełniają wyjściowego równania.

[Premislav]

Wygląda OK, tylko warto zaznaczyć, że korzystasz z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu.