Sumy kwadratów są kwadratami

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieje nieskończona ilość trójek \(\displaystyle{ x, y, z}\) takich , że \(\displaystyle{ NWD(x, y, z)=1}\) i \(\displaystyle{ x^2+y^2}\), \(\displaystyle{ x^2+z^2}\), \(\displaystyle{ z^2+y^2}\) są kwadratami ?

Ukryta treść:    

Np. \(\displaystyle{ x= 44, \ y=117, \ z = 240}\)
Jest to zadanie zbliżone do:
Zadania 65 z Nierozwiązanych (Zestaw od Iwana, Czwórki i kwadraty)
które wciąż jest nierozwiązane...?
124399.htm
Uogólnienie L. Moser:
Czy dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje \(\displaystyle{ n}\) różnych liczb naturalnych, takich że suma każdych dwóch różnych z nich jest kwadratem liczby naturalnej ?

[Zahion]

Wezmy trojke Pitagorejska \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right)}\), a dalej
\(\displaystyle{ a = x\left( 4y^{2} - z^{2}\right), b = y\left( 4x^{2} - z^{2}\right), c = 4xyz}\), wtedy liczby \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}, b^{2} + c^{2}, a^{2} + c^{2}}\) sa kwadratowe.
Ponadto niech \(\displaystyle{ y = x + 1}\).
Mamy wtedy \(\displaystyle{ a = x\left( 2x^{2} + 6x + 3\right), b = \left( x+1\right)\left( 2x^{2}-2x-1\right)}\)
Jesli sie nigdzie nie pomylilem to i liczby \(\displaystyle{ a , b}\) sa wzglednie pierwsze ( \(\displaystyle{ x > 1}\) ) wiec \(\displaystyle{ a, b, c}\) rowniez. Oczywiscie mozna wytworzyc nieskonczenie wiele liczb \(\displaystyle{ x, y, z}\) spelniajacych rownosc \(\displaystyle{ x^{2} + \left( x+1\right)^{2} = z^{2}}\), ciag
\(\displaystyle{ x_{1} = 3, z_{1} = 5, x_{n+1} = 3x_{n} + z_{n} + 1, z_{n+1} = 4x_{n} + 3z_{n} + 2}\) spelnia warunek.