Rozkład na iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych

[patryk00714]

Witam,

natrafiłem na takie zadanie:

Wykaż, że każda z liczb postaci \(\displaystyle{ 48,4488,444888,...}\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb parzystych.

Ogółem zauważyłem, że \(\displaystyle{ \overbrace{44...4}^{n}\overbrace{88...8}^{n}=\overbrace{66...6}^{n} \cdot \overbrace{66...6}^{n-1}8}\), ale jak pokazać ogólnie dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)?

Liczę to tak:

\(\displaystyle{ \overbrace{444...4}^{n }\overbrace{888...8}^{n }=4\left( \overbrace{111...1}^{n }\overbrace{222...2}^{n }\right)=4\left( \overbrace{111...1}^{n}\cdot 10^n+2 \cdot \overbrace
{111...1}^{n}\right)=4\left[ \overbrace{111...1}^{n}\left( 10^n+2\right) \right]}\)

i tutaj utknąłem, pozdrawiam

[bartek118]

Zauważ, że
\(\displaystyle{ 100\ldots 0 = 99 \ldots 9 \\
\frac{100\ldots 0}{9} = 11 \ldots 1 \\
\frac{10^n}{9} = 11 \ldots 1}\)

[patryk00714]

czy możemy skorzystać z tożsamości \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\)

skoro \(\displaystyle{ n}\) przyjmuje wartość skończoną?

[Zahion]

\(\displaystyle{ 11...1 = \frac{10^{n} - 1}{9}}\), gdzie po lewej stronie mamy \(\displaystyle{ n}\) jedynek. Otoż wynika stad w szczegolnosci, ze \(\displaystyle{ 3| 10^{n} - 1}\), czyli dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego mamy, ze \(\displaystyle{ 10^{n} - 1 = 3k}\). Reszta to tylko kosmetyczka, \(\displaystyle{ 4 \cdot 1...1\left( 10^{n} + 2\right) = 4 \cdot 3k \cdot \left( 3k + 3\right) \cdot \frac{1}{9} =4k\left( k+1\right) = 2k \cdot \left( 2k+2\right)}\)
Oczywiscie \(\displaystyle{ \frac{10^{n}}{9} \neq 11...1}\), prawdopodobnie zaszla mala pomylka.

[patryk00714]

dzięki, nie zauważyłem tożsamości \(\displaystyle{ \overbrace{999...9}^{n}=10^n-1}\)

[bartek118]

\(\displaystyle{ 11...1 = \frac{10^{n} - 1}{9}}\), gdzie po lewej stronie mamy \(\displaystyle{ n}\) jedynek. Otoż wynika stad w szczegolnosci, ze \(\displaystyle{ 3| 10^{n} - 1}\), czyli dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) naturalnego mamy, ze \(\displaystyle{ 10^{n} - 1 = 3k}\). Reszta to tylko kosmetyczka, \(\displaystyle{ 4 \cdot 1...1\left( 10^{n} + 2\right) = 4 \cdot 3k \cdot \left( 3k + 3\right) \cdot \frac{1}{9} =4k\left( k+1\right) = 2k \cdot \left( 2k+2\right)}\)
Oczywiscie \(\displaystyle{ \frac{10^{n}}{9} \neq 11...1}\), prawdopodobnie zaszla mala pomylka.

Oczywiście - zgubiłem minusa