Iloczyn liczb pierwszych
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 5 lip 2015, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom ;)
Iloczyn liczb pierwszych
Udowodnić przez indukcję, że iloczyn liczb pierwszych niewiększych niż \(\displaystyle{ k}\) jest mniejszy lub równy \(\displaystyle{ 4^{k-1}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Iloczyn liczb pierwszych
To może wskazówka do kroku indukcyjnego. Ile może wynosić iloczyn liczb pierwszych nie większych od \(\displaystyle{ k+1}\), jeżeli iloczyn liczb pierwszych nie większych od \(\displaystyle{ k}\) wynosi \(\displaystyle{ I}\). Wskazówka 2: Możliwe są dwa przypadki.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Iloczyn liczb pierwszych
Osobom, które dają bezsensowne wskazówki w tym temacie poleciłbym najpierw zastanowić się czy to co proponują działa. Wsk.: nie działa.
To zadanie nie jest trywialnym ćwiczeniem na indukcje. Widać to chociażby po tym, że teza jest nietrywialna. Implikuje w szczególności \(\displaystyle{ \pi(n) = O(n/\lg n)}\) co nie jest faktem oczywistym.
Idea jest taka: znaleźć liczbę \(\displaystyle{ F(n)\leq 2^n}\) taką, która jest podzielna przez wszystkie liczby pierwsze z przedziału \(\displaystyle{ [n/2,n]}\). Następnie rozumować indukcyjnie dla \(\displaystyle{ n/2}\).
Pewna niedogodność występuje gdy trzeba rozważać \(\displaystyle{ n}\) parzyste i nieparzyste. Polecam najpierw zmierzyć się z przypadkiem, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą dwójki.
Wsk. Za \(\displaystyle{ F(n)}\) można wziąć pewien współczynnik dwumianowy...
To zadanie nie jest trywialnym ćwiczeniem na indukcje. Widać to chociażby po tym, że teza jest nietrywialna. Implikuje w szczególności \(\displaystyle{ \pi(n) = O(n/\lg n)}\) co nie jest faktem oczywistym.
Idea jest taka: znaleźć liczbę \(\displaystyle{ F(n)\leq 2^n}\) taką, która jest podzielna przez wszystkie liczby pierwsze z przedziału \(\displaystyle{ [n/2,n]}\). Następnie rozumować indukcyjnie dla \(\displaystyle{ n/2}\).
Pewna niedogodność występuje gdy trzeba rozważać \(\displaystyle{ n}\) parzyste i nieparzyste. Polecam najpierw zmierzyć się z przypadkiem, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą dwójki.
Wsk. Za \(\displaystyle{ F(n)}\) można wziąć pewien współczynnik dwumianowy...