Iloczyn liczb pierwszych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Adam17632
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 5 lip 2015, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom ;)

Iloczyn liczb pierwszych

Post autor: Adam17632 »

Udowodnić przez indukcję, że iloczyn liczb pierwszych niewiększych niż \(\displaystyle{ k}\) jest mniejszy lub równy \(\displaystyle{ 4^{k-1}}\).
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Iloczyn liczb pierwszych

Post autor: musialmi »

Spróbuj przez indukcję.
gardner

Iloczyn liczb pierwszych

Post autor: gardner »

musialmi pisze:Spróbuj przez indukcję.

Haha dobra odpowiedź
Adam17632
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 5 lip 2015, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom ;)

Iloczyn liczb pierwszych

Post autor: Adam17632 »

A może coś więcej? Byłbym baaardzo wdzięczny ;D
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Iloczyn liczb pierwszych

Post autor: musialmi »

Ja byłbym bardzo wdzięczny, gdybyś nam pokazał do czego udało ci się dojść, a czego nie udało ci się przejść
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Iloczyn liczb pierwszych

Post autor: bakala12 »

To może wskazówka do kroku indukcyjnego. Ile może wynosić iloczyn liczb pierwszych nie większych od \(\displaystyle{ k+1}\), jeżeli iloczyn liczb pierwszych nie większych od \(\displaystyle{ k}\) wynosi \(\displaystyle{ I}\). Wskazówka 2: Możliwe są dwa przypadki.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Iloczyn liczb pierwszych

Post autor: Zordon »

Osobom, które dają bezsensowne wskazówki w tym temacie poleciłbym najpierw zastanowić się czy to co proponują działa. Wsk.: nie działa.

To zadanie nie jest trywialnym ćwiczeniem na indukcje. Widać to chociażby po tym, że teza jest nietrywialna. Implikuje w szczególności \(\displaystyle{ \pi(n) = O(n/\lg n)}\) co nie jest faktem oczywistym.

Idea jest taka: znaleźć liczbę \(\displaystyle{ F(n)\leq 2^n}\) taką, która jest podzielna przez wszystkie liczby pierwsze z przedziału \(\displaystyle{ [n/2,n]}\). Następnie rozumować indukcyjnie dla \(\displaystyle{ n/2}\).
Pewna niedogodność występuje gdy trzeba rozważać \(\displaystyle{ n}\) parzyste i nieparzyste. Polecam najpierw zmierzyć się z przypadkiem, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą dwójki.

Wsk. Za \(\displaystyle{ F(n)}\) można wziąć pewien współczynnik dwumianowy...
ODPOWIEDZ