Dwa dowody na NWD

[MathMaster]

Witamdz

Mam przeprowadzić następujące dowody:

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a , b , q , r \in Z}\) , \(\displaystyle{ a = bq + r}\), to \(\displaystyle{ ( a , b ) = ( b , r )}\).

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ (a_{1},a_{2},...,a_{n} \in Z, k_{2},...,k_{n} \in Z}\), to \(\displaystyle{ (a_{1},...,a_{n}) = (a_{1},a_{2}+k_{2}a_{1},...,a_{n}+k_{n}a_{1})}\).

Od czego wyjść, wskazówki, gotowe rozwiązania wszystko mile widziane.
Pozdrawiam

[MadJack]

Zauważ, że z jednej strony \(\displaystyle{ (a,b) \mid r}\) i oczywiście \(\displaystyle{ (a,b) \mid b}\), stąd \(\displaystyle{ (a,b) \mid (b,r)}\).
Z drugiej strony \(\displaystyle{ (b,r) \mid a}\), bo dzieli zarówno \(\displaystyle{ b}\) jak i \(\displaystyle{ r}\), i oczywiście \(\displaystyle{ (b, r) \mid b}\), stąd \(\displaystyle{ (b,r) \mid (a,b)}\), co w połączeniu z poprzednią obserwacją daje tezę.

Że
\(\displaystyle{ (a_{1},...,a_{n}) \mid (a_{1},a_{2}+k_{2}a_{1},...,a_{n}+k_{n}a_{1})}\) widać od razu (dlaczego?).
Spróbuj wykazać nie wprost, że podzielność w drugą stronę również zachodzi (wskazówka: podziel każdy wyraz przez \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) ).