Proste dowody na podzielności liczb.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
MathMaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 318
Rejestracja: 23 paź 2009, o 20:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
Podziękował: 80 razy

Proste dowody na podzielności liczb.

Post autor: MathMaster »

Witam

Mam do zrobienia kilka takich prostych dowodów. Niestety są to sprawy tak dla mnie oczywiste i pierwotne, że nie mam pojęcia od czego wyjść by je udowodnić.
Udowodnić, że dla wszystkich \(\displaystyle{ a , b , c \in Z}\) prawdziwa jest implikacja: \(\displaystyle{ ( ac | bc \wedge c \neq 0 \Rightarrow a | b )}\).
Udowodnić, że dla wszystkich \(\displaystyle{ a , b , c , d \in Z}\) prawdziwa jest implikacja: \(\displaystyle{ a | b \wedge c | d \Rightarrow ac | bd}\) .
Udowodnić, ze dla wszystkich \(\displaystyle{ a , b , c , x , y \in Z}\) prawdziwe są implikacje:
a)\(\displaystyle{ a | b \Rightarrow a | bc}\),
b) \(\displaystyle{ ( a | b \wedge a | c ) \Rightarrow a | bx+cy}\) ,
c) \(\displaystyle{ ( a | b \wedge b > 0 ) \Rightarrow a \le b}\) .
Byłbym wdzięczny za wszelkie sugestie, odwołania do dowodów.

Pozdrawiam
MadJack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 270
Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 35 razy

Proste dowody na podzielności liczb.

Post autor: MadJack »

Dla przykładu zrobię pierwsze, pozostałe robi się zupełnie analogicznie. Jakbyś miał z którymś problem, to napisz.

Skoro \(\displaystyle{ ac \mid bc}\), to istnieje takie całkowite \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ bc = ack}\), po skróceniu \(\displaystyle{ b = ka}\), czyli \(\displaystyle{ a \mid b}\).
MathMaster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 318
Rejestracja: 23 paź 2009, o 20:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
Podziękował: 80 razy

Proste dowody na podzielności liczb.

Post autor: MathMaster »

Dobra wszystko zrobiłem, dzięki
ODPOWIEDZ