Przedostatnia cyfra liczby

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Sejuanka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 maja 2015, o 19:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 1 raz

Przedostatnia cyfra liczby

Post autor: Sejuanka »

Wyznaczyć przedostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ 3^{2012}+11^{2011}}\)

\(\displaystyle{ \varphi(100)=40}\)

\(\displaystyle{ 3^{40}\equiv 1 (mod 100)}\)
\(\displaystyle{ 2012\equiv 12 (mod 40)}\)
\(\displaystyle{ 3^{2012} = 3^{40k+12}=(3^{40})^k\cdot 3^{12}=3^{12}=41 (mod 100)}\)

\(\displaystyle{ 11^{40}\equiv 1 (mod 100)}\)
\(\displaystyle{ 2011\equiv 11 (mod 40)}\)
\(\displaystyle{ 11^{2011} = 11^{40k+11}=(11^{40})^k\cdot 11^{11}=11^{11}=11 (mod 100)}\)

Czyli 2 ostatnie cyfry to \(\displaystyle{ 52}\) czyli przedostatnia to \(\displaystyle{ 5}\), zgadza się?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Przedostatnia cyfra liczby

Post autor: Premislav »

Tak.
ODPOWIEDZ