Wyznaczyć przedostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ 3^{2012}+11^{2011}}\)
\(\displaystyle{ \varphi(100)=40}\)
\(\displaystyle{ 3^{40}\equiv 1 (mod 100)}\)
\(\displaystyle{ 2012\equiv 12 (mod 40)}\)
\(\displaystyle{ 3^{2012} = 3^{40k+12}=(3^{40})^k\cdot 3^{12}=3^{12}=41 (mod 100)}\)
\(\displaystyle{ 11^{40}\equiv 1 (mod 100)}\)
\(\displaystyle{ 2011\equiv 11 (mod 40)}\)
\(\displaystyle{ 11^{2011} = 11^{40k+11}=(11^{40})^k\cdot 11^{11}=11^{11}=11 (mod 100)}\)
Czyli 2 ostatnie cyfry to \(\displaystyle{ 52}\) czyli przedostatnia to \(\displaystyle{ 5}\), zgadza się?