Zbadaj pierwszość liczb

[SuperM4n]

Witam serdecznie,
Mam problem ze zbadaniem pierwszości liczb, konkretnie chodzi o dwa przypadki (najpewniej przeznaczone są do rozwiązania tym samym sposobem, aczkolwiek podaje oba, gdyż być może na jednym z nich będzie łatwiej wytłumaczyć):
\(\displaystyle{ a) 2014 ^{3} + 58}\)
\(\displaystyle{ b)2014 ^{3} + 997 ^{3}}\)

Oczywiście znam podstawową definicję liczby pierwszej, ale to niezbyt mi pomogło. Narzędzia, które poznałem, (m.in. sito Eratostenesa, szukania dzielnika pierwszego do pierwiastka z liczby) niespecjalnie się tu nadają. Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś mógł mnie naprowadzić na właściwy sposób.

[Premislav]

OK, to te metody, które wymieniłeś, byłyby tu super niewydajne.
(a) zauważ, iż ta liczba jest parzysta jako suma liczb parzystych, no i jest większa od dwójki.
(b) użyj wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów: \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}\)
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem, bo ja już myślami przy meczu.

[SuperM4n]

Jestem zawstydzony tym, iż nie zauważyłem zależności w \(\displaystyle{ a)}\). Rzeczywiście, suma ta jest parzysta i większa od 2, a więc nie może być liczbą pierwszą. Jednak, jak sprawdzić przypadek, gdy będzie \(\displaystyle{ 2015 ^{3} + 58}\) (poprzednie pochodzą z zestawu z zeszłego roku) ?

Dziękuję również za drugą podpowiedź. Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia, otrzymuje iloczyn dwóch dużych liczb, a więc niemożliwe jest, aby wynik był liczbą pierwszą. Dziękuję bardzo za pomoc w tych dwóch, byłem przekonany, że do rozwiązania oby przypadków potrzebny jest konkretny sposób, przez co ominąłem oczywiste rozwiązania.

[Premislav]

Hmm... \(\displaystyle{ 2015^{3}+58}\)...
Podpowiem: rozważ resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\).

[a4karo]

Jednak, jak sprawdzić przypadek, gdy będzie \(\displaystyle{ 2015 ^{3} + 58}\)

Popatrz na resztę z dzielenia przez 3 każdego ze składników

[SuperM4n]

Przyznam, że tym razem nie załapałem koncepcji.
Reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) liczby \(\displaystyle{ 58}\) to \(\displaystyle{ 1}\), z kolei \(\displaystyle{ 2015}\) to \(\displaystyle{ 2}\) (jeżeli podniesiemy do 3 potęgi, reszta jest równa \(\displaystyle{ 0}\)). Niestety, nie wiem, jak to dalej wykorzystać.

[a4karo]

To jak dodasz, to co dostaniesz?

[Premislav]

jeżeli podniesiemy do \(\displaystyle{ 3}\) potęgi, reszta jest równa \(\displaystyle{ 0}\)

Jesteś pewien?

[SuperM4n]

Teraz rozumiem. Jeszcze tylko dla upewnienia się - powinienem dodać resztę z dzielenia 58 przez 3, czyli 1 do reszty z dzielenia 2015 przez 3, czyli 2, co podnoszę do trzeciej potęgi (ich suma daje 3). W skrócie, mam \(\displaystyle{ 2 ^{3} +1 mod(3)}\), czy to się zgadza?

jeżeli podniesiemy do \(\displaystyle{ 3}\) potęgi, reszta jest równa \(\displaystyle{ 0}\)

Jesteś pewien?

Tak. \(\displaystyle{ 2015 ^{3} = 8181353375}\), a to jest bez reszty podzielne przez 3.

[a4karo]

Potęga piątki ci się na dwa kończy??? W jakim układzie liczysz?

[SuperM4n]

Przepraszam, przez roztargnienie wpisałem już wynik dzielenia przez 3, a nie samego potęgowania.

[Premislav]

Tak. \(\displaystyle{ 2015 ^{3} = 8181353375}\), a to jest bez reszty podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\).

Nieprawdę napisałeś. \(\displaystyle{ 2015\equiv 2\pmod{3}}\), toteż \(\displaystyle{ 2015^{3}\equiv 2^{3}\pmod{3}}\)
Zobacz, że ta koszmarna liczba, którą wyliczyłeś na kalkulatorze/za pomocą programu ma sumę cyfr niepodzielną przez \(\displaystyle{ 3}\), co od razu zwraca uwagę na błąd.

[SuperM4n]

Wydaję mi się, że już rozumiem. Dziękuję wszystkim za pomoc.