Mam pytania o trzy zadania takie:
1)\(\displaystyle{ n|(n-2)!, n>4, n-\text{złożona}}\)
Zakładałem, że \(\displaystyle{ n=ab}\). Wydaje mi się, ze \(\displaystyle{ a,b<(n-2)}\), zatem \(\displaystyle{ a,b}\) są w \(\displaystyle{ (n-2)!}\). Zatem \(\displaystyle{ a|(n-2)!, b|(n-2)!}\), ale nie wiadomo czy \(\displaystyle{ (a,b)=1}\). W ogóle zapewne naginam pewne własności podzielności.
2) Wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ p=4k+3}\) to
\(\displaystyle{ \left( \frac{(p-1)}{2}\right)!=_p \pm1}\)
Pokazać, że iloczyn wszystkich liczb parzystych mniejszych od \(\displaystyle{ p}\) przystaje do \(\displaystyle{ \pm 1}\) modulo \(\displaystyle{ p}\)
3) \(\displaystyle{ 1^2 \cdot 2^2 \cdot \cdots \cdot (p-2)^2=_p (-1)^\left( \frac{(p+1)}{2}\right)}\)
Wiem, że \(\displaystyle{ (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot \frac{p-1}{2})^2 = (-1)^\left( \frac{p+1}{2}\right) \mod p}\)