Najmniejsza liczba

[a456]

Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną taką, że po przeniesieniu cyfry jedności na pierwsze miejsce - uzyskamy liczbę 5 razy większą.

[Michalinho]

Wydaje mi się, że będzie to liczba \(\displaystyle{ 142857}\). Jeśli odpowiedź się zgadza to powiem jak do tego doszedłem.

[pesel]

[Michalinho]

Czyli chyba dobrze rozwiązałem, ale nie znałem tego.
Doszedłem do tego tak:
Niech nasza liczb będzie postaci \(\displaystyle{ 10x+y}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{Z}}\), \(\displaystyle{ 10^{k+1}>x\ge 10^k, \ 9\ge y\ge 0}\). Wtedy mamy taką zależność:
\(\displaystyle{ 5(10x+y)=10^k\cdot y+x\Rightarrow 49x=(10^k-5)y}\).
Widzimy, że liczba \(\displaystyle{ (10^k-5)y}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 49}\), a więc \(\displaystyle{ (10^k-5)}\) przynajmniej przez \(\displaystyle{ 7}\). Szukamy więc najmniejszego takiego \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ 10^k-5\equiv 0 \text{ mod 7}}\), co jest równoważne z \(\displaystyle{ 3^k\equiv 5 \text{ mod 7}}\). Po kolei sprawdzamy i najmniejsze \(\displaystyle{ k}\), które to spełnia to \(\displaystyle{ 5}\). Podstawiamy więc:
\(\displaystyle{ 49x=99995y\Rightarrow 7x=14285y}\). Stąd \(\displaystyle{ y=7, \ x=14285}\).
Ostatecznie nasza liczba to \(\displaystyle{ 142857}\).