Własność pierwiastka z dwóch

[mol_ksiazkowy]

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ \lfloor n \sqrt{2} \rfloor = \lfloor \sqrt{2n^2} \rfloor}\), Jego wyrazy są w pierwszym wierszu ,
a pod nim te których brak tj.
\(\displaystyle{ 1, \ 2, \ 4, \ 5, \ 7, \ 8, \ 9, ...}\)
\(\displaystyle{ 3, \ 6, 10 , 13, 17 , 20 , 23, ...}\)
Udowodnić, że różnica liczb na \(\displaystyle{ n}\) tym miejscu (w \(\displaystyle{ n}\) tej kolumnie ) to \(\displaystyle{ 2n}\).

[Ponewor]

Wydaje się, że treść jest źle przepisana.

[marcin7Cd]

70. z 101 Nierozwiązanych.

Ukryta treść:    

Udowodnię silniejszy twierdzenie: Jeżeli dodatnie liczby niewymierne \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1}\), to każda liczba całkowita jest w ciągu \(\displaystyle{ [n\alpha]}\) albo \(\displaystyle{ [m\beta]}\) dokładnie raz (dla \(\displaystyle{ m,n \in \ZZ_+}\)).
Dowód: \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{\alpha} \cdot n\alpha+\frac{1}{\beta}\cdot m \beta}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}}=\frac{n+m}{1}=n+m \in \ZZ_+}\) oznacza to, że pomiędzy liczbami \(\displaystyle{ n\alpha, m\beta}\) jest liczba całkowita \(\displaystyle{ n+m}\),czyli
\(\displaystyle{ [n\alpha]\neq [m\beta]}\), co oznacza, że ciągi \(\displaystyle{ [n\alpha]}\) i \(\displaystyle{ [m\beta]}\) nie mają elementów wspólnych.
Liczba elementów ciągów \(\displaystyle{ [n\alpha]}\) i \(\displaystyle{ [m\beta]}\) mniejszych od \(\displaystyle{ k\in \ZZ_+}\)to \(\displaystyle{ [\frac{k}{\alpha}]+[\frac{k}{\beta}]=[k-\frac{k}{\beta}]+[\frac{k}{\beta}]=k+[-\frac{1}{\beta}]+[\frac{k}{\beta}]=k-1}\) ostatnia równość wynika z tego, że \(\displaystyle{ \beta}\) jest liczbą niewymierną. Ostatecznie otrzymuje, że ciągi są rozłączne i dodatnich elementów mniejszych od \(\displaystyle{ k}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ k-1}\), co daje tezę.


Wracając do pierwotnego zadania mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2-\sqrt{2}}{2}=1}\) i korzystając z udowodnionego twierdzenia mam, że w ciągach \(\displaystyle{ [n\sqrt{2}],[m(2+\sqrt{2})]=2m+[m\sqrt{2}]}\) każda liczba całkowita występuje dokładnie raz.