Mam problem z udowodnieniem trzech własności przystawania:
1) \(\displaystyle{ a\equiv_{2n} b \Leftrightarrow a^2\equiv_{4n}b^2}\)
2) \(\displaystyle{ a\equiv_{3n} b \Leftrightarrow a^3\equiv_{9n}b^3}\)
3) \(\displaystyle{ a\equiv_{n_1}b \wedge a\equiv_{n_2}b \Rightarrow a\equiv_{NWW(n_1,n_2)}b}\)
Pierwszą i drugą próbowałem rozbijając na dwie implikacje. Z lewej w prawą w pierwszym przykładzie udało mi się rozwiązać, jednak druga sprawiła mi pewne kłopoty. Jakieś wskazówki? Trzecie rozpisywałem z definicji przystawania, jednak nie udało mi się do końca rozwiązać. Proszę o jakieś wskazówki.
Własności przystawania
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Własności przystawania
Masz problem z dowodem w drugą stronę i to dobrze, bo to czego dowodzisz nie jest prawdą.
To znaczy tutaj jest tylko implikacja:
\(\displaystyle{ a\equiv_{2n} b \Rightarrow a^{2} \equiv_{4n} b^{2}}\)
W drugą stronę nie jest to prawda o czym świadczy prosty kontrprzykład: \(\displaystyle{ a=8,b=6,n=7}\).
Zapewne z drugim przykładem jest podobnie, to znaczy implikacja jest tylko w jedną stronę.
To znaczy tutaj jest tylko implikacja:
\(\displaystyle{ a\equiv_{2n} b \Rightarrow a^{2} \equiv_{4n} b^{2}}\)
W drugą stronę nie jest to prawda o czym świadczy prosty kontrprzykład: \(\displaystyle{ a=8,b=6,n=7}\).
Zapewne z drugim przykładem jest podobnie, to znaczy implikacja jest tylko w jedną stronę.
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3044
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
Własności przystawania
Trzecie jest bardzo proste. Tylko należy pozbyć się kongruencji. Zapiszmy założenie równoważnie:
\(\displaystyle{ n_{1}|a-b \wedge n_{2}|a-b}\).
I teraz chwila zastanowienia. Weźmy dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) i załóżmy że wchodzi ona w rozkład na czynniki pierwsze liczb \(\displaystyle{ n_{1},n_{2}}\) z wykładnikami odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) (być może wykładniki te są zerami). I teraz co wiemy. Liczba \(\displaystyle{ p}\) wchodzi w rozkład na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ NWW\left(n_{1},n_{2}\right)}\) z wykładnikiem równym \(\displaystyle{ \max\left(\alpha,\beta\right)}\) co jak łatwo zauważyć jest zawsze równe albo \(\displaystyle{ \alpha}\) albo \(\displaystyle{ \beta}\). Stąd z podzielności z założenia liczba \(\displaystyle{ p^{\max\left(\alpha,\beta\right)}|a-b}\). Stąd rozumując w ten sposób dla każdej liczby \(\displaystyle{ p}\) dostajemy \(\displaystyle{ NWW\left(n_{1},n_{2}\right)|a-b}\), czyli tezę.
\(\displaystyle{ n_{1}|a-b \wedge n_{2}|a-b}\).
I teraz chwila zastanowienia. Weźmy dowolną liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) i załóżmy że wchodzi ona w rozkład na czynniki pierwsze liczb \(\displaystyle{ n_{1},n_{2}}\) z wykładnikami odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) (być może wykładniki te są zerami). I teraz co wiemy. Liczba \(\displaystyle{ p}\) wchodzi w rozkład na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ NWW\left(n_{1},n_{2}\right)}\) z wykładnikiem równym \(\displaystyle{ \max\left(\alpha,\beta\right)}\) co jak łatwo zauważyć jest zawsze równe albo \(\displaystyle{ \alpha}\) albo \(\displaystyle{ \beta}\). Stąd z podzielności z założenia liczba \(\displaystyle{ p^{\max\left(\alpha,\beta\right)}|a-b}\). Stąd rozumując w ten sposób dla każdej liczby \(\displaystyle{ p}\) dostajemy \(\displaystyle{ NWW\left(n_{1},n_{2}\right)|a-b}\), czyli tezę.