1. Czy jeżeli n-tą liczbę pierwszę przybliżymy za pomocą funkcji/ciągu \(\displaystyle{ f \left( x \right) =K \cdot \left( x+ \frac{1-e}{e} \right) \cdot \ln \left( x+ \frac{1-e}{e} \right)+C}\), gdzie w przybliżeniu \(\displaystyle{ K=2\gamma}\) (stała eulera/gamma) czyli w przybliżeniu \(\displaystyle{ 1.15}\), a \(\displaystyle{ C}\) przesuwa ten najniższy pkt wykresu na 2 (wzór na C na samym dole) to czy nie wyjaśnia to według was widocznego na pierwszy rzut oka schematu na spirali Ulama?
Kod: Zaznacz cały
http://wstaw.org/w/3oAP/na zielono są zaznaczone (przez punkty, ale z powodu oddalenia zlały się w linię zieloną) kolejne liczby pierwsze, a czarną linią jest zaznaczona w/w funkcja.
i czy nie można za pomocą tej funkcji uzasadniać teorii dotyczących liczb pierwszych?
2. czy jeżeli utworzymy ciąg, który każdej liczbie n \(\displaystyle{ \in \NN}\) przyporządkuje różnicę kwadratów kolejnych liczb pierwszych - \(\displaystyle{ a _{n}=p_{n+1} ^{2}-p _{n} ^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ p _{n}}\) jest \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbą pierwszą to czy te punkty będą w podobnym przybliżeniu zawsze leżeć na funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =DK \cdot \left( x+ \frac{1-e}{e} \right) \cdot \ln \left( x+ \frac{1-e}{e} \right)+C}\), gdzie D jest wyrazem z ciągu \(\displaystyle{ 4n}\) czyli \(\displaystyle{ D}\) może być równe \(\displaystyle{ 4,8,12,16, ...}\)
tutaj też się nasuwają hipotezy dotyczące różnic liczb pierwszych \(\displaystyle{ n}\)-tych potęg.
3. jeżeli przejdziecie do działu teoria liczb i liczby pierwsze na stronie [url]http://pl.wikipedia.org/wiki/Nierozwi%C4%85zane_problemy_w_matematyce[/url]
jest tam hipoteza brocarda
i pytanie czy nie dostatecznym dowodem tej hipotezy jest to że jeżeli znamy wzór na ilość liczb pierwszych w przedziale od \(\displaystyle{ 1-n}\) (dla dużych liczb dość dokładne przybliżenie)
\(\displaystyle{ \frac{n}{\ln \left( n \right) }}\) to czy jeżeli część liczb sprawdzimy najnormalniej sprawdzając każdą liczbę dostatecznie małą i wykażemy, że \(\displaystyle{ \frac{ \left( n+2 \right) ^{2} }{2\ln \left( n+2 \right) }-\frac{n}{\ln \left( n \right) } \ge 4}\) jest tam \(\displaystyle{ +2}\) ponieważ to najmniejsza różnica między dwoma liczbami pierwszymi (liczby bliźniacze) (gdy zamiast \(\displaystyle{ +2}\) damy liczbę \(\displaystyle{ x \ge 2}\) to tym łatwiej wykazać prawdziwość tego twierdzenia)
4. Czy w ten sam sposób nie można uzasadnić hipotezy Legendre'a, która również znajduje się na tej stronie?
5. Czy jeżeli postawię hipotezę, że \(\displaystyle{ p _{n} < p _{n+1} < 2p _{n}}\), która we wszystkich znanych mi przypadkach jest prawdziwa to czy nie można tego uzasadnić w taki prosty sposób (bez tego przybliżonego wzoru):
[url=http://wstaw.org/w/3oB8/][/url]
Jeżeli najpierw zmodyfikujemy definicję liczb pierwszych na równoważną definicję:
Liczba pierwsza to taka liczba, która nie ma dzielnika wśród poprzednich liczb pierwszych.
i teraz taki dowód
Jeżeli po lewej stronie wykresu mamy źródło wody (która przelewa się przez szczeliny (pierwszą szczeliną - liczbą pierwszą jest \(\displaystyle{ 2}\), tam co prawda narysowałem \(\displaystyle{ 1}\), ale to nie powinno mi utrudnić wyjaśniania)
i jeżeli na kolejnej liczbie pierwszej postawimy ścianę z szczelinami o wielkości 2 razy większej niż liczba pierwsza (dla \(\displaystyle{ 2}\) to \(\displaystyle{ 4}\), dla \(\displaystyle{ 3}\) to \(\displaystyle{ 6}\), dla \(\displaystyle{ 5}\) to \(\displaystyle{ 10}\) itd.), które odpowiadają kolejnym liczbom naturalnym to wszystkie liczby pierwsze mogą zatkać szczeliny których numer oznacza ich wielokrotność \(\displaystyle{ 2}\) może zatkać \(\displaystyle{ 4, 6, 8}\) itd. \(\displaystyle{ 3}\) może zatkać \(\displaystyle{ 6, 9}\) itd.) i jeżeli te liczby będą potrafiły zatkać w 100% (wtedy dowolnie większą ścianę poprzednie liczby pierwsze też potrafiłyby zatkać ścianę to woda(woda ma tę właściwość, że przelewa się przy najniższej szczelinie) się nie przeleje i oznaczało by to, że liczb pierwszych jest skończona ilość(co jak udowodnił euklides byłoby sprzeczne).
I czy taki dowód jest logicznie poprawny?
Resztę teorii z którymi mam wątpliwości/niedostateczną wiedzę mam zamiar napisać kiedyś w innym poście.
Jak coś tu jest niejasno/niezrozumiale napisane to proszę podzielcie się w komentarzach.
Co do pytań skąd brałem wzory/wykresy/dowód to poza wzorem \(\displaystyle{ \frac{n}{\ln \left( n \right) }}\) jestem ich autorem.
edit: zapomniałem o \(\displaystyle{ C}\) we wzorach (obrazki uwzględniają \(\displaystyle{ C}\))
\(\displaystyle{ C=2-K\cdot \left( \frac{1}{e} \right) \cdot\ln \left( \frac{1}{e} \right)}\)
