Grupa i pierścień

[nelcia27]

Witam, mam problem z następującymi dwoma zadaniami:
1. Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie elementem grupy \(\displaystyle{ \left( \Gamma , * \right)}\). Niech funkcja \(\displaystyle{ f _{ \alpha }: \Gamma \to \Gamma}\) będzie zadana przez \(\displaystyle{ f_{ \alpha } \left(\xi \right) = \alpha * \xi}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ f _{ \alpha }}\) jest bijekcją zbioru \(\displaystyle{ \Gamma}\). Dowieść też, że \(\displaystyle{ f_{ \alpha } \circ f _{ \beta }= f_{ \alpha * \beta }}\) oraz \(\displaystyle{ (f_{ \alpha }) ^{-1}= f_{ \alpha ^{-1} }}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in \Gamma}\).
2. Niech \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) będą dowolnymi elementami pierścienia. Udowodnić szczegółowo (przez indukcję), że dla \(\displaystyle{ m,n \in \mathbb{Z}}\) prawdziwe są równości: (1) \(\displaystyle{ n(m \alpha )=(nm) \alpha}\), (2) \(\displaystyle{ (n+m) \alpha =n \alpha +m \alpha}\), (3) \(\displaystyle{ n( \alpha + \beta )=n \alpha +n \beta}\), (4) \(\displaystyle{ (n \alpha ) \cdot \beta = \alpha \cdot n \beta =n( \alpha \cdot \beta )}\).
Z góry dziękuję za pomoc

[szw1710]

1. Wskazówka: istnieją elementy odwrotne - skorzystaj z nich.
2. Zauważ, że \(\displaystyle{ 2\alpha=\alpha+\alpha}\), co jest pewną konwencją, bo w pierścieniu formalnie nie mamy mnożenia przez liczby całkowite. W rozumowaniu należy wykorzystać przemienność. Np. niech \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{P}}\) (pierścień).

\(\displaystyle{ 2(a+b)=(a+b)+(a+b)}\)

i stoimy, gdy nie ma przemienności działania dodawania. Dalej: \(\displaystyle{ (a+b)+(a+b)=a+(b+a)+b}\) z łączności i dalej mamy \(\displaystyle{ \dots=a+(a+b)+b=(a+a)+(b+b)}\) znów z łączności, co daje nam \(\displaystyle{ 2a+2b}\). Rozumuj podobnie w kroku indukcyjnym. Ponieważ mamy dwa parametry naturalne, indukcję trzeba odpowiednio poprowadzić.

[nelcia27]

Dziękuję za wskazówki Mogę jeszcze prosić o polecenie jakiegoś dobrego artykułu książki, który w łopatologiczny sposób przedstawia wstęp do algebry abstrakcyjnej (oswoi mnie z pojęciami pierścienia, ciała i pokaże kilka przykładów zadań związanych z tymi zagadnieniami)?

[szw1710]

To już pytanie nie do mnie - rutyniarza. Tutaj chyba każdemu według upodobań. W moim przypadku wystarczyły notatki z wykładu.

[Zordon]

Powiadają, że Kostrykin jest dobry.

[nelcia27]

Odkopuję temat i proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania oraz wskazówkę jak dokończyć zadanie 1.
Załóżmy, nie wprost, że \(\displaystyle{ \exists \epsilon_{1}, \epsilon_{2} \in \Gamma [\epsilon_{1} \neq \epsilon_{2} \wedge f(\epsilon_{1})=f(\epsilon_{2})]}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ \alpha *\epsilon_{1}= \alpha *\epsilon_{2}}\) i wykonując prawostronnie działanie oraz opierając się na łączności działania w grupie otrzymuję:
\(\displaystyle{ (\alpha *\epsilon_{1})*\epsilon_{1} ^{-1}=(\alpha *\epsilon_{2})*\epsilon_{1} ^{-1}}\), czyli:
lewa strona powyższego wyrażenia to \(\displaystyle{ \alpha}\), zatem prawa ma być też \(\displaystyle{ \alpha \Rightarrow \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}= \varepsilon}\) (\(\displaystyle{ \varepsilon}\)- element neutralny). Zachodzi wobec tego: \(\displaystyle{ \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}= \varepsilon=\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1} \Rightarrow \epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1}=\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1}}\), wykonując prawostronnie działanie otrzymam: \(\displaystyle{ (\epsilon_{2}*\epsilon_{1} ^{-1})*\epsilon_{1}=(\epsilon_{2}*\epsilon_{2}^{-1})*\epsilon_{1}}\) skąd korzystając z łączności:\(\displaystyle{ \epsilon_{2}=\epsilon_{1}}\)- sprz. z założeniem, czyli funkcja jest różnowartościowa.
Dalej, \(\displaystyle{ forall eta in Gamma exists epsilon in Gamma [ eta = alpha *epsilon=f _{ alpha}(epsilon)}\) (wystarczy, że biorąc dowolne \(\displaystyle{ \beta}\) przedstawię je w postaci \(\displaystyle{ \beta = \alpha *\epsilon}\), a to zawsze jest możliwe, bo niech \(\displaystyle{ \epsilon= \alpha ^{-1}* \beta}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha *\epsilon=\alpha *(\alpha ^{-1}* \beta)=(\alpha *\alpha ^{-1})* \beta= \beta}\)), zatem funkcja jest suriekcją.
Z powyższego funkcja jest bijekcją.
A dalej:
\(\displaystyle{ f_{ \alpha } \circ f _{ \beta }= f_{ \alpha }( f_{ \beta })= \alpha * (\beta *\epsilon )}\)
oraz \(\displaystyle{ f_{ \alpha * \beta }=( \alpha * \beta )*\epsilon}\), a stąd z łączności wynika: \(\displaystyle{ f_{ \alpha } \circ f _{ \beta }= f_{ \alpha * \beta }}\)
Czy to jest dobrze? Jak udowodnić tę ostatnią część?
Z góry dziękuję za pomoc