Zasada minimum i zasada indukcji

[nelcia27]

Witam, proszę o sprawdzenie rozwiązania zadania następującej treści: Udowodnić zasadę minimum posługując się zasadą indukcji.
Rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie całym zbiorem liczb naturalnych spełniającym założenia zasady indukcji matematycznej. Przez \(\displaystyle{ n_{0}}\) oznaczmy najmniejszy element tego zbioru, czyli \(\displaystyle{ n _{0}=1}\) (przyjmujemy, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest liczbą naturalną. Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ n _{0}-1\in X}\), wtedy z zasady indukcji matematycznej \(\displaystyle{ n _{0}\in X}\), co jest prawdą, ale \(\displaystyle{ n _{0}-1}\) staje się elementem minimalnym zbioru \(\displaystyle{ X}\), czyli zasada minimum nie jest spełniona. Zauważmy, że \(\displaystyle{ n _{0}-1=0\not\in\mathbb{N}}\), zatem \(\displaystyle{ n _{0}-1\not\in\ X}\), sprzeczność.

[musialmi]

Twierdzenie mówi "W dowolnym podzbiorze liczb naturalnych istnieje element najmniejszy". Masz dowieść istnienia, a już na samym początku dowodu oznaczasz przez \(\displaystyle{ n_0}\) coś, co do czego istnienia nie ma pewności. Skoro oznaczasz, to wiadomo, że istnieje ;p A jeśli nie wiadomo czy istnieje, to nie możesz oznaczać.

[nelcia27]

Miałam na myśli, że wybranie \(\displaystyle{ n_{0}}\) jest fragmentem dowodu nie wprost :/
Masz może jakiś inny pomysł na to zadanie?

[Medea 2]

Załóż nie wprost, że \(\displaystyle{ X}\) nie ma elementu najmniejszego. Wtedy \(\displaystyle{ \{1, \dots, n\} \cap X}\) są puste dla każdego \(\displaystyle{ n}\) (tu właśnie korzystamy z indukcji: krok bazowy dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest oczywisty, krok indukcyjny: jeśli przekrój jest pusty dla "\(\displaystyle{ n}\)", to jest też dla "\(\displaystyle{ n+1}\)", bo gdyby nie był, to \(\displaystyle{ n+1}\) byłoby elementem najmniejszym).