Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych...

[JaNieszczesny]

Ostatnio w ramach jednego z wykładów na uczelni dostałem specjalną "nagrodę" od mojego profesora. Mam rozpisac ile to jest \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{8}}\). Jedyne co dostałem to wynik jaki powinienem otrzymać tj.
\(\displaystyle{ \frac{1}{15} s_{2} (5n^{6}+15n^{5}+5n^{4}-15n^{3}-n^{2}+9n-3)}\)

Przeglądałem forum wielokrotnie, znalazłem metodę zaburzania... i rozumiem ją dosyć... jednak jak przystąpiłem do 8 potęgi to ciągle się gubię i błędy mam. Chyba to nie na moją głowę.. chciałby ktoś mi z tym pomóc?

[Dilectus]

Zrób sumowanie od końca:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{8}=\sum_{k=n}^{1} k^{8}=n^8+\left( n-1\right)^8+ \left( n-2\right)^8+ \left( n-3\right)^8+.....+1^8}\)

i pokombinuj z tym wielomianem, tj rozpisz poszczególne potęgi wg dwumianu Newtona, uprość co się da, i powinno wyjść.

[Medea 2]

Ewentualnie zastąp \(\displaystyle{ 8}\) przez \(\displaystyle{ p}\) i wyprowadź rekurencyjną tożsamość To chyba nawet gdzieś na forum jest.

[Zordon]

[JaNieszczesny]

Dzięki za tak szybki i duży odzew

Są to prostsze i szybsze metody od metody zaburzania? Nie wiem czemu, ale zależy mi na tej włąsnie metodzie bo wydaje się na tyle ciekawa, ze mój profesor może by się odczepił właśnie wtedy:)

-- 14 maja 2015, o 22:32 --

Czyli przez zaburzanie jest za dużo zachodu jednak?

-- 15 maja 2015, o 12:21 --

Nie mogę usunąć ani edytować postu... więc proszę o usunięcie poprzedniego

Po obliczeniach metodą zaburzania mam już:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k^{9}+9k^{8}+36k^{7}+84k^{6}+126k^{5}+126k^{4} +84k^{3}+36k^{2}+9k+1}\) czyli w efekcie:

\(\displaystyle{ (n+1)^{9}= 9k^{8}+36k^{7}+84k^{6}+126k^{5}+126k^{4} +84k^{3}+36k^{2}+9k+1}\)

właśnie teraz zaczynają się schody, bo tutaj np wszędzie są plusy w końcowej odpowiedzi już tak nie jest... a nie jestem dobry w skracaniu niektórych rzeczy bo po prostu "nie widzę" zależności niektórych. Próbuje jakoś wstawić to \(\displaystyle{ s_{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\) lecz staje.

Wiem... uparłem się na metodę zaburzania.

[JaNieszczesny]

Czy aby użyć metody zaburzania dla \(\displaystyle{ k^{8}}\) trzeba znać koniecznie wyniki dla \(\displaystyle{ k^{7}, k^{6}}\)...itd ??

[Zordon]

Tak

[patryk00714]

Nie trzeba ich mieć, wyprowadziłem wzór za pomocą którego redukujemy kolejne potęgi do potęgi zerowej:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{l}k^{n-1}=\frac{1}{n}\left[(l+1)^n-1- \sum_{k=1}^{l} \left( \sum_{m=2}^{n} {n \choose m}k^{n-m} \right) \right]}\)

jest to jednak dość uciążliwe, ale wykonalne,

mamy np: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{l}k^2=\frac{1}{3}\left[(l+1)^3-1- \sum_{k=1}^{l}\left( {3 \choose 2}k+ {3 \choose 3}k^0 \right) \right]= \frac{1}{3}\left[l^3+3l^2+3l-3 \sum_{k=1}^{l}k- \sum_{k=1}^{l}1 \right]= \\ =\frac{1}{3}\left[ l^3+3l^2+3l-3\left( \frac{1}{2}((l+1)^2-1- \sum_{k=1}^{l}1) \right)-l \right]= \\ = \frac{1}{3}\left[l^3+3l^2+3l-\frac{3}{2}\left(l^2+l \right) -l \right]=\frac{1}{3}\left[l^3+3l^2+3l-\frac{3}{2}l^2-\frac{5}{2}l \right]=\\=\frac{1}{3}\left[ l^3+\frac{3}{2}l^2+\frac{1}{2}l\right]=\frac{1}{6}l\left(2l^2+3l+1 \right)=\frac{1}{6}l(l+1)(2l+1)}\)

co się zgadza, do wyliczenia tego porzebowałem tylko informacji, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{l}1=l}\)

oczywiście, przy potędze ósmej, liczba składników rośnie znacznie - jest ich \(\displaystyle{ 2^n}\) przy n-tej potędze.

[JaNieszczesny]

\(\displaystyle{ 2^{8}}\) składników? wow... to już potężne obliczenia... chyba nie podołam żadna metodą tego zrobić sam:/ dzięki wielkie.