liczby złożone

[uosiek]

Czy liczba \(\displaystyle{ 13 ^{404} + 32^{602}}\) jest złożona ? Proszę o rozwiązanie

[Premislav]

Małe tw. Fermata dla piątki.-- 9 maja 2015, o 13:46 --Czy tam tw. Eulera, na jedno w sumie wychodzi.

[a456]

A czy wystarczyłoby zauważyć, że \(\displaystyle{ 13 ^{404} + 32^{602} = (13^{202})^2 + (32^{301})^2}\).

Oraz napisać, że liczba całkowita daje się zapisać w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na czynniki, liczby pierwsze w postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) pojawiają się parzystą ilość razy.

[Zahion]

\(\displaystyle{ 5 = 2^{2} + 1^{2}}\).
\(\displaystyle{ 13 = 3^{2} + 2^{2}}\)

[Premislav]

a456, a nie znam dowodu, strasznie pro rozwiązanie. Ale czy to nie jest niewystarczające? Bo np. \(\displaystyle{ 37=6^{2}+1^{2}}\), a jednak \(\displaystyle{ 37}\) jest pierwsze. A może jakieś niedopowiedzenie odnośnie założeń? [suma kwadratów liczb złożonych czy coś, naprawdę nie wiem]
)
O, Zahion już podał lepsze kontrprzykłady, czyli ze złożonymi też nie wystarcza.

Ale można tez ominąć wszystko oprócz szkolnego dwumianu Newtona, jak już się ma hipotezę, że \(\displaystyle{ 5}\) dzieli to ustrojstwo.
\(\displaystyle{ 13^{404}\equiv (-2)^{404}\equiv (-1)^{202}\pmod{5}}\), zaś \(\displaystyle{ 32^{602}\equiv 2^{602}\equiv(-1)^{301}\pmod{5}}\),
toteż \(\displaystyle{ 13^{404}+32^{602}\equiv ...}\)

-- 9 maja 2015, o 14:35 --

Już wiem, pewnie to tw. przytoczone przez a456 jest prawdziwe, ale zapomniałem/zapomnieliśmy (tj. ja i a456), że zero jest liczbą parzystą.

[Vax]

Można też tak:

\(\displaystyle{ 13^{404} + 32^{602} = 13^{404} + 2^{3010} = (13^{202}+2^{1505})^2 - 2\cdot 13^{202}\cdot 2^{1505} = \\ \\ = (13^{202}+2^{1505})^2 - (13^{101}\cdot 2^{753})^2 = \\ \\ = (13^{202}+13^{101}\cdot 2^{753}+2^{1505})(13^{202}-13^{101}\cdot 2^{753} + 2^{1505})}\)

[a456]

No tak już rozumiem, że to co napisałem nie jest wystarczające.

[a4karo]

Można też tak:

\(\displaystyle{ 13^{404} + 32^{602} = 13^{404} + 2^{3010} = (13^{202}+2^{1505})^2 - 2\cdot 13^{202}\cdot 2^{1505} = \\ \\ = (13^{202}+2^{1505})^2 - (13^{101}\cdot 2^{753})^2 = \\ \\ = (13^{202}+13^{101}\cdot 2^{753}+2^{1505})(13^{202}-13^{101}\cdot 2^{753} + 2^{1505})}\)

I teraz trzeba jeszcze pokazać, że ten drugi czynnink nie jest równy 1

[Zahion]

Nasze wyrażenie w nawiasie wynosi \(\displaystyle{ \left( 13^{101} - 2^{752}\right)^{2} + 2^{1504}}\), co oczywiście dowodzi, że jest różne od \(\displaystyle{ 1}\).