Dowód twierdzenia o pierwiastkach wymiernych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Dowód twierdzenia o pierwiastkach wymiernych

Post autor: musialmi »

Chcę przeprowadzić dowód twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych: jeśli \(\displaystyle{ a_i}\) są całkowite i \(\displaystyle{ a_n \neq 0}\), to \(\displaystyle{ W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0}\) ma pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ \frac pq}\), to \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a_0}\), a \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a_n}\).

No to załóżmy, że \(\displaystyle{ W\left( \frac pq\right) =0}\). Można to przekształcić do \(\displaystyle{ p\left( a_n \frac{p^{n-1}}{q^n}+\ldots+a_1 \frac{1}{q}\right) =-a_0}\) i teza numer jeden leży pewnie gdzieś nieopodal. Byłoby fajnie, jakby to, co w nawiasie, było całkowite i nie dzieliło \(\displaystyle{ a_0}\), to wtedy mamy tezę. Ale tego nie wiadomo. Co z tym trzeba zrobić?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Dowód twierdzenia o pierwiastkach wymiernych

Post autor: »

musialmi pisze:No to załóżmy, że \(\displaystyle{ W\left( \frac pq\right) =0}\). Można to przekształcić do \(\displaystyle{ p\left( a_n \frac{p^{n-1}}{q^n}+\ldots+a_1 \frac{1}{q}\right) =-a_0}\)
Przekształć raczej do postaci \(\displaystyle{ q^n\cdot W\left( \frac pq\right) =0}\).

Q.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Dowód twierdzenia o pierwiastkach wymiernych

Post autor: musialmi »

To mamy \(\displaystyle{ a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\ldots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0}\). Widzę podobieństwo do dwumianu Newtona, ale to nie o to tu chodzi... Ale to jest chyba suma ciągu geometrycznego o mnożniku \(\displaystyle{ \frac pq}\)! Tak, nawet na pewno. Mamy \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów, więc mamy \(\displaystyle{ 0=a_0q^n \cdot \frac{1-\left( \frac pq\right)^{n+1}}{1-\frac pq}}\) i stąd \(\displaystyle{ a_0q^n-\frac{a_0p^n}{q}=0}\), ale co to daje? Nie wiem
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Dowód twierdzenia o pierwiastkach wymiernych

Post autor: bakala12 »

Widzę podobieństwo do dwumianu Newtona, ale to nie o to tu chodzi... Ale to jest chyba suma ciągu geometrycznego o mnożniku \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\)! Tak, nawet na pewno.
Bzdura!
Prawidłowe podejście:
Prawa strona tej równości dzieli się przez \(\displaystyle{ q}\). Zatem lewa też musi, stąd skoro \(\displaystyle{ NWD\left(p,q\right)=1}\) to \(\displaystyle{ q|a_{0}}\). Analogicznie z \(\displaystyle{ p}\).
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Dowód twierdzenia o pierwiastkach wymiernych

Post autor: musialmi »

Mógłbyś rozszerzyć to rozumowanie, tzn. uszczegółowić?
Dlaczego uważasz, że to nie jest suma ciągu geometrycznego?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Dowód twierdzenia o pierwiastkach wymiernych

Post autor: a4karo »

Bądź łaskaw dostrzec współczynniki \(\displaystyle{ a_i}\)
ODPOWIEDZ