Podzielność liczb
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 15 paź 2012, o 17:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 10 razy
Podzielność liczb
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą i dzieli \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in \left\{ 1,2, \ldots , p-1 \right\}}\) Pokazać, że \(\displaystyle{ p=1 \pmod{4}}\). Czy odwrotnie stwierdzenie zachodzi? Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 3 maja 2015, o 07:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Podzielność liczb
Działanie w ciele modulo p
\(\displaystyle{ a^2+b^2=0}\) z warunków zadania
rozłóżmy to na czynniki:
\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p-1})(a-b \sqrt{p-1})=0}\)
Oczywiście jeśli ta równość ma zachodzić musi istnieć pierwiastek znaczy, że \(\displaystyle{ p-1}\)
musi być resztą kwadratową a skoro ma być resztą kwadratową to:
\(\displaystyle{ \left( \frac{p-1}{p}\right)}\) powinno być równe jeden.
To obliczmy i zobaczmy czy tak jest:
Otóż ze wzoru mamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{p-1}{p}\right)= \left( \frac{-1}{p}\right)=(-1)^{ \frac{p-1}{2} }}\)
Jeżeli chcemy żeby była to reszta kwadratowa to wynik musi być równy jeden, czyli musi być:
\(\displaystyle{ 4|p-1}\) cnd...
W drugą stronę wystarczy wziąć:
\(\displaystyle{ 1,p-1}\)
bo obie są resztami kwadratowymi czyli:
\(\displaystyle{ a=1,b^2=p-1}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2=1^2+p-1=1+p-1=0}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2=0}\) z warunków zadania
rozłóżmy to na czynniki:
\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p-1})(a-b \sqrt{p-1})=0}\)
Oczywiście jeśli ta równość ma zachodzić musi istnieć pierwiastek znaczy, że \(\displaystyle{ p-1}\)
musi być resztą kwadratową a skoro ma być resztą kwadratową to:
\(\displaystyle{ \left( \frac{p-1}{p}\right)}\) powinno być równe jeden.
To obliczmy i zobaczmy czy tak jest:
Otóż ze wzoru mamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{p-1}{p}\right)= \left( \frac{-1}{p}\right)=(-1)^{ \frac{p-1}{2} }}\)
Jeżeli chcemy żeby była to reszta kwadratowa to wynik musi być równy jeden, czyli musi być:
\(\displaystyle{ 4|p-1}\) cnd...
W drugą stronę wystarczy wziąć:
\(\displaystyle{ 1,p-1}\)
bo obie są resztami kwadratowymi czyli:
\(\displaystyle{ a=1,b^2=p-1}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2=1^2+p-1=1+p-1=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 15 paź 2012, o 17:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 10 razy
Podzielność liczb
Ale \(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p-1})(a-b \sqrt{p-1})= a^2+b^2 (p-1)}\) i \(\displaystyle{ p-1 \neq 1}\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Podzielność liczb
\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p-1})(a-b \sqrt{p-1})=a^2-b^2(p-1)=a^2-b^2p+b^2=a^2+b^2}\)
Coś źle policzyłeś jest ok...nikt nie mówi, że:
\(\displaystyle{ p-1=1}\)
Coś źle policzyłeś jest ok...nikt nie mówi, że:
\(\displaystyle{ p-1=1}\)
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Podzielność liczb
Tak nie rozumujemy w matematyce.arek1357 pisze:Działanie w ciele modulo p
\(\displaystyle{ a^2+b^2=0}\) z warunków zadania
rozłóżmy to na czynniki:
\(\displaystyle{ (a+b \sqrt{p-1})(a-b \sqrt{p-1})=0}\)
Oczywiście jeśli ta równość ma zachodzić musi istnieć pierwiastek znaczy, że \(\displaystyle{ p-1}\)
musi być resztą kwadratową a skoro ma być resztą kwadratową to:
Poprawna wersja:
Mamy \(\displaystyle{ a^2=-b^2\pmod{p}}\)
zatem \(\displaystyle{ (ab^{-1})^2=-1\pmod{p}}\)
więc \(\displaystyle{ (-1)}\) jest resztą kwadratową. Stąd wynika, że \(\displaystyle{ (-1)^{(p-1)/2}=1 \pmod{p}}\).
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Podzielność liczb
W którym miejscu?
Ale bez lania wody
Bo to co napisałeś poprzednio nie wskazuje na to że napisałem coś błędnie!
Skoro \(\displaystyle{ Z_{p}}\) jest ciałem to mam prawo gwarantowane przez konstytucję
wykonywać wszystkie działania w tym ciele.
Jesteś jak moja pani od wszystkiego, która czepiała się jak ktoś powiedział nie jej słowami tylko swoimi.
Ale bez lania wody
Bo to co napisałeś poprzednio nie wskazuje na to że napisałem coś błędnie!
Skoro \(\displaystyle{ Z_{p}}\) jest ciałem to mam prawo gwarantowane przez konstytucję
wykonywać wszystkie działania w tym ciele.
Jesteś jak moja pani od wszystkiego, która czepiała się jak ktoś powiedział nie jej słowami tylko swoimi.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Podzielność liczb
Pierwiastkujesz liczbę.arek1357 pisze:W którym miejscu?
Ale bez lania wody
Bo to co napisałeś poprzednio nie wskazuje na to że napisałem coś błędnie!
Skoro \(\displaystyle{ Z_{p}}\) jest ciałem to mam prawo gwarantowane przez konstytucję
wykonywać wszystkie działania w tym ciele.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Podzielność liczb
Pierwiastkiem nazywamy taką liczbę, która po podniesieniu do potęgi drugiej daje liczbę podpierwiastkową,
Tę definicję nauczono mnie w zerówce, oraz to , że może być stosowana w każdym ciele!,
Jeżeli natomiast w danym ciele nie ma szukanego pierwiastka dołączamy go tworząc ciało będące jego rozszerzeniem, w naszym przypadku pierwiastek musiał istnieć bo znaczyłoby, że teza zadania jest zła!
Poza tym:
Każde ciało skończone ma dokładnie:
\(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) reszt kwadratowych i tyle samo niereszt kwadratowych.
Zero możemy wliczyć do reszt kwadratowych i wtedy będziemy mieli o jedną resztę więcej!
Każda reszta kwadratowa ma dwie takie liczby, które po podniesieniu do kwadratu daje tę resztę.
Ja osobiście te liczby, które po podniesieniu do potęgi drugiej dają resztę kwadratową nazywam
pierwiastkiem co mi wolno i gwarantuje mi to konstytucja oraz karta praw człowieka i obywatela!
Tak umiem od zerówki i nikt mi tego prawa nie odbierze nazywałem nazywam i będę nazywał pierwiastkiem choćby przyszedł tu doktor pięciokrotnie habilitowany i mi to zarzucił!!!
Tę definicję nauczono mnie w zerówce, oraz to , że może być stosowana w każdym ciele!,
Jeżeli natomiast w danym ciele nie ma szukanego pierwiastka dołączamy go tworząc ciało będące jego rozszerzeniem, w naszym przypadku pierwiastek musiał istnieć bo znaczyłoby, że teza zadania jest zła!
Poza tym:
Każde ciało skończone ma dokładnie:
\(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) reszt kwadratowych i tyle samo niereszt kwadratowych.
Zero możemy wliczyć do reszt kwadratowych i wtedy będziemy mieli o jedną resztę więcej!
Każda reszta kwadratowa ma dwie takie liczby, które po podniesieniu do kwadratu daje tę resztę.
Ja osobiście te liczby, które po podniesieniu do potęgi drugiej dają resztę kwadratową nazywam
pierwiastkiem co mi wolno i gwarantuje mi to konstytucja oraz karta praw człowieka i obywatela!
Tak umiem od zerówki i nikt mi tego prawa nie odbierze nazywałem nazywam i będę nazywał pierwiastkiem choćby przyszedł tu doktor pięciokrotnie habilitowany i mi to zarzucił!!!
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Podzielność liczb
To jest bez sensu.w naszym przypadku pierwiastek musiał istnieć bo znaczyłoby, że teza zadania jest zła!
W Twoim rozumowaniu bez uzasadnienia stwierdzasz, że \(\displaystyle{ (p-1)}\) jest resztą kwadratową.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Podzielność liczb
Oczywiście że z uzasadnieniem bo musi istnieć pierwiastek, inaczej znaczyłoby, że rozszerzenie ciała (które notabene też byłoby ciałem)
o ten pierwiastek ma niezerowe dzielniki zera! a to bzdura!!!
o ten pierwiastek ma niezerowe dzielniki zera! a to bzdura!!!
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Podzielność liczb
No cóż, dodajesz nowe nieelementarne stwierdzenia do Twojego rozumowania. Ja odnoszę się do Twojego pierwszego posta i o niczym innym nie będę dyskutował. W zasadzie o niczym w ogóle już tu nie będę dyskutował, bo tym postem kończę moją aktywność w tym temacie.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Podzielność liczb
Ok jasne moje rozumowanie jest dobre nie zawiera luk nie widzę błędów!!!
Cały ból istnienia wynika stąd, że traktuję ciało reszt tak samo jak np. ciało liczb rzeczywistych z działaniami i wszystko co za tym idzie. Niestety a może stety tak zostałem wychowany...
I przyzwyczajeń nie zmienię.
Cały ból istnienia wynika stąd, że traktuję ciało reszt tak samo jak np. ciało liczb rzeczywistych z działaniami i wszystko co za tym idzie. Niestety a może stety tak zostałem wychowany...
I przyzwyczajeń nie zmienię.
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Podzielność liczb
jeżeli czegoś nie widzisz, to nie znaczy, że tego nie ma. jaki sens mają Twoje rachunki np. dla \(\displaystyle{ p=7}\)arek1357 pisze:Ok jasne moje rozumowanie jest dobre nie zawiera luk nie widzę błędów!!!