Układy równań

[robsel]

Witam forumowiczów,

Nie jestem pewien co do poprawności swoich rozwiązań. Mógłby ktoś napisać, czy dobry tok myślenia, a jak nie, to jakoś mnie naprowadzić? Zadanie brzmi: Rozwiąż następujący układ równań:

a) \(\displaystyle{ \begin{cases} x + 5y=3\pmod{8} \\ 4x+5y=1\pmod{8} \end{cases}}\)
Od drugiego równania odejmuję pierwsze, otrzymując:

\(\displaystyle{ 3x=-2\pmod{8}}\)
\(\displaystyle{ 3x=6\pmod{8}}\) (dodając do \(\displaystyle{ -2\ 8}\))
Teraz, po zastosowaniu rozszerzonego algorytmu Euklidesa otrzymuję:
\(\displaystyle{ x=18\pmod{8}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x=2\pmod{8}}\) (dwa, bo od 18stki odjąłem 2 razy ósemkę)

Podstawiam do pierwszego równania:
\(\displaystyle{ 2\pmod{8}+5y=3\pmod{8}}\)
czyli : \(\displaystyle{ 5y=1\pmod{8}}\)
Po zastosowaniu R.A.Euklidesa:
\(\displaystyle{ y=-3\pmod{8}}\)
Po dodaniu ósemki do -3jki otrzymuję:
\(\displaystyle{ y=5\pmod{8}}\)

Zatem rozwiązaniem jest para:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\pmod{8}\\ y=5\pmod{8} \end{cases}}\)

I teraz (podchwytliwy?) przykład:

b) \(\displaystyle{ \begin{cases} x+5y=3\pmod{9} \\ 4x+5y=1\pmod{9} \end{cases}}\)
Postępuję analogicznie do pierwszego przykładu więc pomijam komentarze,
\(\displaystyle{ 3x=-2\pmod{9} \\
3x=7\pmod{9}}\)

\(\displaystyle{ NWD(3,9) = 3}\), ale \(\displaystyle{ 3}\) nie dzieli \(\displaystyle{ 7}\), więc równanie nie posiada rozwiązań.

Chodzi głównie o to że nie jestem pewien swojego toku postępowania, robię to bardziej intuicyjnie. Jeszcze jedna prośba: mógłby mi ktoś podpowiedzieć, na co w takich równaniach zwracać szczególną uwagę, na co uważać przy rozwiązywaniu, jakie najczęściej zdarzają się błędy. Bardzo pomoże mi to przy nauce. Z góry dzięki Pozdrawiam.

[bakala12]

Bardzo dobrze rozwiązane. Wszystko tak jak należy.

[robsel]

Dzięki