Liczba rozwiązań równania a,b,x,y

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
a456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 132
Rejestracja: 14 gru 2014, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 7 razy

Liczba rozwiązań równania a,b,x,y

Post autor: a456 »

Liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) są względnie pierwsze. Ile rozwiązań w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x,y}\) ma równanie \(\displaystyle{ ax+by=ab}\)?
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Liczba rozwiązań równania a,b,x,y

Post autor: SlotaWoj »

To zależy, czy uważany że \(\displaystyle{ 0\in\NN}\), czy \(\displaystyle{ 0\not\in\NN}\).
Awatar użytkownika
Michalinho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 495
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 104 razy

Liczba rozwiązań równania a,b,x,y

Post autor: Michalinho »

\(\displaystyle{ ax+by=ab \Leftrightarrow ax=b(a-y) \Leftrightarrow by=a(b-x)}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest naturalne.
Zauważ, że ponieważ \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\), to z powyższych równości \(\displaystyle{ b|x \wedge a|y}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ x=bk \wedge y=al, \ k,l\in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ abk+abl=ab\Leftrightarrow ab(k+l-1)=0}\).
Nie ma rozwiązań, bo wtedy \(\displaystyle{ k+l\ge 2, ab\neq 0}\).
Jeśli przyjmujemy, że \(\displaystyle{ 0}\) jest naturalne, to dla \(\displaystyle{ a=b=0}\) dowolne liczby \(\displaystyle{ x,y}\) spełniają równanie, dla \(\displaystyle{ a=0, b\neq 0}\) rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ \{(x, 0): x\in \mathbb{N}\}}\), dla \(\displaystyle{ a=0, b\neq 0}\) rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ \{(0, y): y\in \mathbb{N}\}}\). W pozostałych przypadkach nie ma rozwiązań.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Liczba rozwiązań równania a,b,x,y

Post autor: SlotaWoj »

Ja rozwiązałem to tak.

Równanie \(\displaystyle{ ax+by=ab}\) jest równaniem prostej. Po przekształceniu do postaci odcinkowej wygląda tak:
  • \(\displaystyle{ \frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1}\)
Widać, że jedynie ograniczony punktami: \(\displaystyle{ (0;a)}\) i \(\displaystyle{ (b;0)}\) odcinek tej prostej znajduje się I ćwiartce układu współrzędnych, tylko jego końce mają współrzędne całkowite i tylko one będą naturalnymi rozwiązaniami równania, o ile uważamy, że \(\displaystyle{ 0\in\NN}\). Gdy uważany, że \(\displaystyle{ 0\not\in\NN}\) – równanie nie rozwiązań naturalnych.
ODPOWIEDZ