Liczba rozwiązań równania a,b,x,y
-
- Użytkownik
- Posty: 132
- Rejestracja: 14 gru 2014, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 7 razy
Liczba rozwiązań równania a,b,x,y
Liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) są względnie pierwsze. Ile rozwiązań w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x,y}\) ma równanie \(\displaystyle{ ax+by=ab}\)?
- Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
Liczba rozwiązań równania a,b,x,y
\(\displaystyle{ ax+by=ab \Leftrightarrow ax=b(a-y) \Leftrightarrow by=a(b-x)}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest naturalne.
Zauważ, że ponieważ \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\), to z powyższych równości \(\displaystyle{ b|x \wedge a|y}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ x=bk \wedge y=al, \ k,l\in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ abk+abl=ab\Leftrightarrow ab(k+l-1)=0}\).
Nie ma rozwiązań, bo wtedy \(\displaystyle{ k+l\ge 2, ab\neq 0}\).
Jeśli przyjmujemy, że \(\displaystyle{ 0}\) jest naturalne, to dla \(\displaystyle{ a=b=0}\) dowolne liczby \(\displaystyle{ x,y}\) spełniają równanie, dla \(\displaystyle{ a=0, b\neq 0}\) rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ \{(x, 0): x\in \mathbb{N}\}}\), dla \(\displaystyle{ a=0, b\neq 0}\) rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ \{(0, y): y\in \mathbb{N}\}}\). W pozostałych przypadkach nie ma rozwiązań.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest naturalne.
Zauważ, że ponieważ \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\), to z powyższych równości \(\displaystyle{ b|x \wedge a|y}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ x=bk \wedge y=al, \ k,l\in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ abk+abl=ab\Leftrightarrow ab(k+l-1)=0}\).
Nie ma rozwiązań, bo wtedy \(\displaystyle{ k+l\ge 2, ab\neq 0}\).
Jeśli przyjmujemy, że \(\displaystyle{ 0}\) jest naturalne, to dla \(\displaystyle{ a=b=0}\) dowolne liczby \(\displaystyle{ x,y}\) spełniają równanie, dla \(\displaystyle{ a=0, b\neq 0}\) rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ \{(x, 0): x\in \mathbb{N}\}}\), dla \(\displaystyle{ a=0, b\neq 0}\) rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ \{(0, y): y\in \mathbb{N}\}}\). W pozostałych przypadkach nie ma rozwiązań.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Liczba rozwiązań równania a,b,x,y
Ja rozwiązałem to tak.
Równanie \(\displaystyle{ ax+by=ab}\) jest równaniem prostej. Po przekształceniu do postaci odcinkowej wygląda tak:
Równanie \(\displaystyle{ ax+by=ab}\) jest równaniem prostej. Po przekształceniu do postaci odcinkowej wygląda tak:
- \(\displaystyle{ \frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1}\)