Dzielenie i modulo 4

[studenttt91]

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą taką, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ a^2+1}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}}\) Wykazać, że \(\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod{4}}\)
Proszę o pomoc.

[Premislav]

To jest nieprawda. Niech \(\displaystyle{ a=5}\): wtedy \(\displaystyle{ 2|5^{2}+1}\), ale nieprawdą jest, że \(\displaystyle{ 2\equiv 1\pmod{4}}\)

[Ponewor]

Gdy dorzucimy założenie o nieparzystości \(\displaystyle{ p}\), to jest już prawda. Robi się to z małego twierdzenia Fermata.

[studenttt91]

A jak to się robi?

[Ponewor]

Kongruencję \(\displaystyle{ a^{2} \equiv -1 \pmod{p}}\) podnieś do takiej potęgi, by wyszła sprzeczność właśnie z MTF.

[studenttt91]

Jak podniosę do potęgi \(\displaystyle{ 3}\), to
\(\displaystyle{ a^{6} \equiv -1 \pmod{p}}\)
a \(\displaystyle{ 7}\) jest liczbą pierwszą i wychodzi sprzeczność tylko nie wiem co dalej

[Ponewor]

\(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\)