Pierwiastki pierwotne

[musialmi]

Podczas szukania pierwiastków pierwotnych w \(\displaystyle{ Z_{11}}\) natrafiłem na zagwozdkę. Rozumiem, że chodzi o grupę z dodawaniem. \(\displaystyle{ 3}\) jest pierwiastkiem pierwotnym, bo biorąc \(\displaystyle{ 3,3+3,3+3+3,\ldots, 11 \cdot 3}\) dostaniemy cały zbiór \(\displaystyle{ Z_{11}}\).

Obczajmy, że \(\displaystyle{ 3^2=3+3=6}\) też jest pierwiastkiem pierwotnym.

Policzmy \(\displaystyle{ \phi (11)}\). Oczywiście wynosi ono \(\displaystyle{ 10}\), bo \(\displaystyle{ 11}\) jest pierwsza.

Policzmy \(\displaystyle{ NWD(10, 2)}\). Wychodzi \(\displaystyle{ 2}\).

No ale mamy lemat: niech \(\displaystyle{ a}\) będzie pierwiastkiem pierwotnym względem \(\displaystyle{ n}\). Wtedy \(\displaystyle{ a^h}\) jest pierwiastkiem pierwotnym wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ NWD(h, \phi(n))=1}\).

No i biorąc \(\displaystyle{ a=3, n=11, h=2}\) mamy sprzeczność :/ Co robię źle? Czy o pierwiastkach pierwotnych mówi się tylko w kontekście grupy z mnożeniem?

[mostostalek]

tak.. Chodzi tylko o grupy multiplikatywne.