Podczas szukania pierwiastków pierwotnych w \(\displaystyle{ Z_{11}}\) natrafiłem na zagwozdkę. Rozumiem, że chodzi o grupę z dodawaniem. \(\displaystyle{ 3}\) jest pierwiastkiem pierwotnym, bo biorąc \(\displaystyle{ 3,3+3,3+3+3,\ldots, 11 \cdot 3}\) dostaniemy cały zbiór \(\displaystyle{ Z_{11}}\).
Obczajmy, że \(\displaystyle{ 3^2=3+3=6}\) też jest pierwiastkiem pierwotnym.
Policzmy \(\displaystyle{ \phi (11)}\). Oczywiście wynosi ono \(\displaystyle{ 10}\), bo \(\displaystyle{ 11}\) jest pierwsza.
Policzmy \(\displaystyle{ NWD(10, 2)}\). Wychodzi \(\displaystyle{ 2}\).
No ale mamy lemat: niech \(\displaystyle{ a}\) będzie pierwiastkiem pierwotnym względem \(\displaystyle{ n}\). Wtedy \(\displaystyle{ a^h}\) jest pierwiastkiem pierwotnym wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ NWD(h, \phi(n))=1}\).
No i biorąc \(\displaystyle{ a=3, n=11, h=2}\) mamy sprzeczność :/ Co robię źle? Czy o pierwiastkach pierwotnych mówi się tylko w kontekście grupy z mnożeniem?
Pierwiastki pierwotne
-
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy