Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x+y+z=1}\) to \(\displaystyle{ xy+zx+yz \le \frac{1}{3}}\)
Nie mam pomysłu na to zadanie, prosiłbym o pomoc
Dowód z trzema niewiadomymi
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Dowód z trzema niewiadomymi
\(\displaystyle{ 1 = \left( x+y+z\right)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left( xy+yz+xz\right) \ge 3\left( xy+yz+xz\right)}\), stąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \ge xy+yz+xz}\).
Wykorzystaliśmy nierówność \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge xy+yz+xz}\), która jest równoważna \(\displaystyle{ \left( x-y\right)^{2}+\left( y-z\right)^{2}+\left( x-z\right)^{2} \ge 0}\), co jest oczywiście prawdą.
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \ge xy+yz+xz}\).
Wykorzystaliśmy nierówność \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge xy+yz+xz}\), która jest równoważna \(\displaystyle{ \left( x-y\right)^{2}+\left( y-z\right)^{2}+\left( x-z\right)^{2} \ge 0}\), co jest oczywiście prawdą.