dowód o liczbach trójkątnych

[agusia141414]

jak udowodnić, że kiedy \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą nieparzystą to istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) że iloczyn

\(\displaystyle{ t _{n+1}t _{n+2}...t _{n+m}}\) jest liczbą kwadratowa... ??

[Medea 2]

Jeżeli nie powiesz nam, czym jest \(\displaystyle{ t_n}\), to raczej nie dostaniesz pomocy (:

[agusia141414]

\(\displaystyle{ t _{n}= \frac{n(n+1)}{2}}\), jest to postać liczby trójkątnej.


czyli mogę zapisać, że

\(\displaystyle{ t _{n+1}t _{n+2}...t _{n+m}= \frac{(n+1)(n+2)}{2} \cdot \frac{(n+2)(n+3)}{2} \cdot ... \cdot \frac{(n+m)(n+m+1)}{2}=z ^{2}}\)

[Medea 2]

Zauważ, że masa czynników się powtarza. Musisz więc odpowiedzieć sobie na pytanie, kiedy

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+m+1)}{2}}\)

jest kwadratem.

[agusia141414]

no wlasnie tu mam problem. ;/

[SlotaWoj]

Zobacz tu:
https://www.matematyka.pl/386589.htm#p5337850
Jest to aktualnie końcowy post innego Twojego tematu.

[agusia141414]

nie bardzo mito pomaga.
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+m+1)}{2}=z^2}\), ale wlasnie kiedy.... jest to liczba kwadratowa... ?

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+m+1)}{2}=z^2}\), ale wlasnie kiedy.... jest to liczba kwadratowa... ?

np. jesli \(\displaystyle{ n=m-1}\) itd.

[SlotaWoj]

Temat zadania:

• Udowodnić, że kiedy \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą nieparzystą to istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) że iloczyn \(\displaystyle{ m}\) kolejnych liczb trójkątnych \(\displaystyle{ t_{n+1}t_{n+2}...t_{n+m}}\) jest liczbą kwadratową.

Stosując rozumowanie podobne do przedstawionego w zadaniu:
https://www.matematyka.pl/386589.htm#p5337850
problem można sprowadzić się do znalezienia dodatniego całkowitoliczbowego rozwiązania (ze względu na \(\displaystyle{ n}\)) równania:

• \(\displaystyle{ n^2+(m+2)n+m+1-2y^2=0}\)

które jest następujące:

• \(\displaystyle{ n=\frac{-m-2+\sqrt{m^2+8y^2}}{2}}\)

po przekształceniu do postaci korespondującej z ww. zadaniem takie:

• \(\displaystyle{ \left(2(n+1)+m\right)^2-8y^2=m^2}\)

a po przekształceniu do postaci równania diofantycznego Pella \(\displaystyle{ (x^2-Dy^2=1)}\) takie:

• \(\displaystyle{ \left(\frac{2(n+1)}{m}+1\right)^2-8\left(\frac{y}{m}\right)^2=1}\)

Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitoliczbowych, gdy dodatnia stała stojąca przed \(\displaystyle{ \left(\frac{y}{m}\right)^2}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Tak jest w ww. równaniu i ma ono nieskończenie wiele rozwiązań niezależnie od tego, czy \(\displaystyle{ m}\) jest parzyste, czy też nieparzyste.

Przypuszczam, że rozwiązania dla \(\displaystyle{ m}\) parzystego będą występowały „gęściej” niż dla \(\displaystyle{ m}\) nieparzystego.

Dla \(\displaystyle{ m}\) parzystego \(\displaystyle{ n}\) może być rozwiązaniem równania Pella gdy \(\displaystyle{ n+1}\) będzie wielokrotnością \(\displaystyle{ m/2}\). Natomiast dla \(\displaystyle{ m}\) nieparzystego \(\displaystyle{ n}\) będzie rozwiązaniem gdy \(\displaystyle{ n+1}\) będzie wielokrotnością \(\displaystyle{ m}\), a te są dwukrotnie „rzadsze” niż wielokrotności m/2 – stąd powyższe przypuszczenie.

[agusia141414]

Mam jeszcze jedno pytanie
Mamy
\(\displaystyle{ t _{n+1}t _{n+2}...t _{n+m}= \frac{(n+1)(n+2)}{2} \cdot \frac{(n+2)(n+3)}{2} \cdot ... \cdot \frac{(n+m)(n+m+1)}{2}=z ^{2}}\) czyli dalej
\(\displaystyle{ \frac{(n+2)^{2}}{2} \cdot \frac{(n+3)^{2}}{2} \cdot ... \cdot \frac{(n+m)^{2}}{2}\cdot \frac{(n+1)(n+m+1)}{2}=z ^{2}}\)


skąd wiemy, że ta liczba
\(\displaystyle{ \frac{(n+2)^{2}}{2} \cdot \frac{(n+3)^{2}}{2} \cdot ... \cdot \frac{(n+m)^{2}}{2}}\)
jest kwadratowa?

[Medea 2]

Bo liczniki są kwadratami, a mianowników jest \(\displaystyle{ m-1}\), czyli parzyście wiele.

[agusia141414]

mianownikow jest parzyscie wiele, czyli wiem ze zawsze bedzie to liczba ktorą mozna przedstawic w postaci kwadratu, ale z czego to wynika... ?



potrzebuje uzasadnienia.

[Medea 2]

Poważnie, nie wiesz? Z tego, że \(\displaystyle{ 2^{m-1} = 2^{2 n} = (2^n)^2}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb Z}\) oczywiście.

[SlotaWoj]

Dzięki Medei 2 zorientowałem się, że zajmując się liczbą całkowitoliczbowych rozwiązań równania:

• \(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+m+1)}{2}=y^2}\)

których rzeczywiście jest nieskończenie wiele i to niezależnie od tego czy \(\displaystyle{ m}\) jest nieparzyste czy parzyste, zapomniałem, że pozostałą część iloczynu \(\displaystyle{ t_{n+1}t_{n+2}\dots t_{n+m}}\) istotnie różni się postacią od tej:

• \(\displaystyle{ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}\)

występującej w zadaniu Liczby trójkątne – zadanie 3 (https://www.matematyka.pl/386589.htm).

W tym zadaniu natomiast trzeba było zająć się dodatkowo „kwadratowością” iloczynu:

• \(\displaystyle{ \frac{(n+2)^2}{2}\cdot\frac{(n+3)^2}{2}\cdot\ ...\ \cdot\frac{(n+m)^2}{2}}\)

z którą jest tak, jak podała Medea 2, a ja to pominąłem.

Końcowe stwierdzenie w mym poprzednim poście formułowałem i może być tak odczytane, jakby dotyczyło całego zadania, uznając fragment tematu zadania \(\displaystyle{ \white i}\)kiedy \(\displaystyle{ \newrgbcolor{darkred} {0.5 0 0}{\darkred{m}}}\) jest liczbą nieparzystą\(\displaystyle{ \white i}\) za zbędne ograniczenie, co jest błędne i wymaga korekty.

Tylko równanie:

• \(\displaystyle{ \newrgbcolor{darkred} {0.5 0 0}{\darkred{\frac{(n+1)(n+m+1)}{2}=y^2}}}\)

ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitoliczbowych niezależnie od tego czy \(\displaystyle{ \newrgbcolor{darkred} {0.5 0 0}{\darkred{m}}}\) jest parzyste, czy też nieparzyste.