Wiedząc, że ... oblicz

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
PROlikeG6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 7 kwie 2015, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: PROlikeG6 »

Wiedząc, że \(\displaystyle{ a + \frac{1}{a} = 3}\)
oblicz \(\displaystyle{ a^{3} + \frac{1}{a^{3}}}\)
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: mortan517 »

Kombinuj z \(\displaystyle{ \left( a+\frac{1}{a}\right) ^3}\)
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Milczek »

Cóż.. pałując to zadanie co ja bym zrobił to bym pomnożył przez \(\displaystyle{ a}\) pierwsze równanie i obliczył wartości \(\displaystyle{ a}\) i koniec w sumie , potem podstawiamy.
Ale mortan517, bardziej kreatywnie podchodzi do problemu

ps. A gdzie założenia ?
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Zahion »

Jakie założenia ?
Ja bym osobiście na początku podniósł do kwadratu i obliczył wartość \(\displaystyle{ a^{2} + \frac{1}{a^{2}}}\), a następnie pomnożył to równanie przez \(\displaystyle{ a + \frac{1}{a}}\), i obliczył wartość daną w zadaniu.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Milczek »

To pytanie o założenia było chyba do mnie. Żałożenie na przykład takie czy liczba \(\displaystyle{ a}\) należy do zbioru liczb zespolonych,naturalnych?
Zauważ że robiąc moim sposobem może mieć znaczenie to jakie liczby rozważamy a sposób ten jest dobry.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Zahion »

Prawda, aczkolwiek przykładowo w liceum, gimnazjum etc. nie ma wzmianki przy równaniach, nierównościach itd. o tym, żeby rozwiązać podane równanie w zbiorze liczb rzeczywistych, narzucane jest to z góry.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Milczek »

Cóż, nie wiem do jakiego liceum chodzisz i jakie masz podręczniki i nauczyciela. U mnie często są wspominane założenia i nie rzadko są one różne od zakładanego z góry przez Ciebie zbioru liczb rzeczywistych. Nawet książki niejednokrotnie wspominają o innych w zadaniach.
Dodatkowo, robiąc to zadanie przekształcając na różne sposoby, nie otrzymasz dwóch innych wyników drugiego równania. Robiąc jak ja , sprowadzając pierwsze do równania kwadratowego. W drugim równaniu dla każdego miejsca zerowego otrzymasz dwa inne wyniki... jestem pewien że w z tyłu w książce w odpowiedziach kolega ma tylko jedną odpowiedź.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Zahion »

Rozwiąż równanie
to dość popularna treść zadań i nie tylko w mojej książce występuje.
Jeżeli wyszły Ci dwa wyniki w zbiorze liczb rzeczywistych, to dwa muszą być poprawne, jeśli oczywiście nie robisz gdzieś błędu.
Oczywiście, jeśli autor podał taką treść zadania, to Twoje rozumowanie nie powinno być uznane za błędne.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Milczek »

Ok, widać skończyłeś rozmowę.
Nie mamy dłużej o czym rozmawiać. Pozdrawiam
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Zahion »

Okej, odpowiedzmy sobie.
W drugim równaniu dla każdego miejsca zerowego otrzymasz dwa inne wyniki
Nie, nie otrzymasz dwóch różnych wyników, otrzymasz dwa te same wyniki. Sprawdz.
Dodatkowo, robiąc to zadanie przekształcając na różne sposoby, nie otrzymasz dwóch innych wyników drugiego równania.
To samo co wyżej.
W drugim równaniu dla każdego miejsca zerowego otrzymasz dwa inne wyniki
Ponawiam.
jestem pewien że w z tyłu w książce w odpowiedziach kolega ma tylko jedną odpowiedź.
Ja też, bo jedna jest poprawna.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Milczek »

Panie moderatorze, zacznijmy od tego iż w mojej książce jest podobny przykład który też trzeba poprzekształcać i otrzyma się jakąś odpowiedź. Ale jak sprowadzimy równanie pierwsze do równania kwadratowego to otrzymuje się drugą odpowiedź której z tyłu nie ma ale to nieistotne, sugerowałem się tym.

A może teraz wrócę do zadania :
\(\displaystyle{ a+ \frac{1}{a} =3}\) więc przekształcamy teraz, mnożymy przez \(\displaystyle{ a}\) i otrzymasz : \(\displaystyle{ a^2-3a+1=0}\).
Stąd otrzymasz że \(\displaystyle{ a_{0}= \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \vee a_{0}= \frac{3- \sqrt{5} }{2}}\).
Teraz mając te wartości wstaw je do \(\displaystyle{ a^3 + \frac{1}{a^3}}\).
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Zahion »

Ja wstawiłem, a Ty ?
Ukryta treść:    
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 821
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 45 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: Milczek »

btw. to czemu my to tak pałujemy, mamy chyba ambicje na ciekawsze rozwiązania.
W ramach ćwiczenia wstawię to ręcznie. Miałeś racje co nie zmienia mojego zdania iż ja miałem przykład który dawał dwa inne wyniki, serio. Inne potęgi były przy drugim równaniu jak dobrze pamiętam.
A na zakończenie dodam że szukając innego rozwiązania w swoim poprzednim poście właściwie podałeś gotowca którego wystarczy wymnożyć.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: a4karo »

Milczek, czepiasz się bez sensu.
Z samej postaci równania wideć, że jeżeli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą spełniającą założenie, to \(\displaystyle{ 1/a}\) też, zaś wartości \(\displaystyle{ a^3+1/a^3}\) będą takie same.

Założeniem w zadaniu jest \(\displaystyle{ a+1/a=3}\) i to powinno wystarczyc do rozwiązania zadania. Jeżeli dodać do tego coś dodatkowego, np, że \(\displaystyle{ a}\) ma być naturalne, do dojdziemy do całkiem prawdziwej implikacji , że
\(\displaystyle{ a+1/a=3 \wedge a\in \NN \Rightarrow a^3+1/a^3=3+7i}\)
(po prawej stronie możesz sobie wstawić cokolwiek)
PROlikeG6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 7 kwie 2015, o 14:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Wiedząc, że ... oblicz

Post autor: PROlikeG6 »

a co jeśli rozpisać
\(\displaystyle{ a^{3} + \frac{1}{a^{3}}}\)
ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} = (a + b)\cdot(a^{2} - ab + b^{2})}\)
wtedy \(\displaystyle{ a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = (a + \frac{1}{a})\cdot(a^{2} - 1 + \frac{1}{a^{2}})}\)
teraz pierwsze rownanie podniesc do kwadratu
\(\displaystyle{ a^{2} + 2 + \frac{1}{a^{2}} = 9}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 9 - 2}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 7}\)
i podstawic \(\displaystyle{ a^{2} + \frac{1}{a^{2}}}\)
do: \(\displaystyle{ a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = (a + \frac{1}{a})\cdot[(a^{2} + \frac{1}{a^{2}}) - 1]}\)
wtedy \(\displaystyle{ a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 3(7 - 1)}\)
\(\displaystyle{ a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 18}\)
Nie mam pojęcia czy ten sposób jest dobry i czy sie nie pomyliłem gdzieś

[edit] juz poprawione
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2015, o 20:50 przez PROlikeG6, łącznie zmieniany 1 raz.
ODPOWIEDZ