Niech \(\displaystyle{ x, y}\) będa takie że \(\displaystyle{ x^{2}-8y^{2}=9}\) ; oczywiście \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzyste i niech \(\displaystyle{ n =\frac{x-1}{2}}\); to \(\displaystyle{ t_{n-1}t_nt_{n+1}= \left( y\frac{n \left( n+1 \right) }{2} \right) ^2}\)
Np. \(\displaystyle{ x=9 \ y=3 \ n=4}\), \(\displaystyle{ t_{3}t_4t_{5}= \left( 3 \cdot \frac{4 \cdot 5}{2} \right) ^2}\) itp.
liczby trójkątne
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
liczby trójkątne
Ostatnio zmieniony 7 kwie 2015, o 22:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 17 kwie 2014, o 23:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 14 razy
liczby trójkątne
nie potrzebuje podstawienia, tylko dowod na liczbach ogolnych, poza tym moje pytanie wciaz brzmi tak samo, skad wielo sie rownanie
\(\displaystyle{ x^{2}-8y^{2}=9}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-8y^{2}=9}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
liczby trójkątne
z tego ze
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y ^{2}\\ x=2n+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y ^{2}\\ x=2n+1 \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 76
- Rejestracja: 17 kwie 2014, o 23:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 14 razy
liczby trójkątne
oto mi chodzilo. dziękuję!mol_ksiazkowy pisze:z tego ze
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y ^{2}\\ x=2n+1 \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
liczby trójkątne
Iloczyn trzech kolejnych liczb trójkątnych \(\displaystyle{ t_{n-1}t _nt _{n+1}}\) jest liczba kwadratową, gdy zawarty w nim czynnik \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}}\) jest liczbą kwadratową. Można to zapisać w postaci równania:
Dodatni pierwiastek (ww. trójmianu kwadratowego) wyraża się wzorem:
Ww. równanie ma następujące dodatnie i całkowitoliczbowe rozwiązania dla \(\displaystyle{ n}\): 4; 25; 148; 865, które znalazłem nieco uproszczoną techniką przy pomocy Excela dla \(\displaystyle{ n\in\left\langle1;3000\right\rangle}\).
Można zauważyć, że w miarę wzrostu n rozwiązania są coraz rzadsze i nie można powiedzieć, że jest ich nieskończenie wiele. Spróbuję w inny sposób znaleźć następne po 865 rozwiązanie ww. równania, jak również poszukać informacji nt. ew. nieskończonej liczby jego rozwiązań.
Nie byłem pewien, czy ww. równanie można uznać za rozwiązanie zadania, ale znalazłem
artykuł nt. równania diofantycznego Pella:
- \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y^2}\)
- \(\displaystyle{ n^2+n-2(y^2+1)=0}\)
Dodatni pierwiastek (ww. trójmianu kwadratowego) wyraża się wzorem:
- \(\displaystyle{ n=\frac{-1+\sqrt{1+8(y^2+1)}}{2}}\)
- \(\displaystyle{ (2n+1)^2-8y^2=9}\)
Ww. równanie ma następujące dodatnie i całkowitoliczbowe rozwiązania dla \(\displaystyle{ n}\): 4; 25; 148; 865, które znalazłem nieco uproszczoną techniką przy pomocy Excela dla \(\displaystyle{ n\in\left\langle1;3000\right\rangle}\).
Można zauważyć, że w miarę wzrostu n rozwiązania są coraz rzadsze i nie można powiedzieć, że jest ich nieskończenie wiele. Spróbuję w inny sposób znaleźć następne po 865 rozwiązanie ww. równania, jak również poszukać informacji nt. ew. nieskończonej liczby jego rozwiązań.
Nie byłem pewien, czy ww. równanie można uznać za rozwiązanie zadania, ale znalazłem
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_Pella
artykuł nt. równania diofantycznego Pella:
- \(\displaystyle{ x^2-Dy^2=1}\)