liczby trójkątne

[agusia141414]

mam problem z dowodem, ze istnieje nieskończenie wiele trojek kolejnych liczb trójkątnych, których iloczyn jest liczba kwadratowa.


mamy ze rownosc \(\displaystyle{ t _{n-1}t _{n}t _{n+1}=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2} \frac{(n-1)(n+2)}{2}=z^2}\) Wynika stąd że \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}}\) musi byc kwadratowa.

więc mamy \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y ^{2}}\).


Dalej podstawiając za \(\displaystyle{ 2n+1=x}\) mamy \(\displaystyle{ x ^{2}-8y ^{2}=z ^{2}}\) i tu mam problem, nie umiem tego tak przekształcić by to mi wyszło... ;/

[mol_ksiazkowy]

i tu mam problem, nie umiem tego tak przekształcić by

\(\displaystyle{ n^2 - 2y^2 =1}\) i oraz
\(\displaystyle{ (3x+4y)^2 - 2(2x+3y)^2 = x^2- 2y^2}\)
\(\displaystyle{ n= 3, y=2}\)

[agusia141414]

ogole nie rozumiem powyzszego rozumowania... ;/


potrzebuje to przeksztalcic \(\displaystyle{ \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2} \frac{(n-1)(n+2)}{2}=z^2}\)


do postaci \(\displaystyle{ x ^{2}-8y ^{2}=z ^{2}}\)

[mol_ksiazkowy]

w takim razie \(\displaystyle{ x^2 - 8y^2 =(2n+1)^2 - 4(n^2-1)= 4n+5 = z^2}\) itd.

[agusia141414]

pomylilam się tutaj

\(\displaystyle{ \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2} \frac{(n-1)(n+2)}{2}=z^2}\)

co nie zmienia faktu, ze nie o taka pomoc mi chodzi, bo ja mam dojsc do tej postaci, jak juz napisalam, a nie tą postac przeksztalcac.

[mol_ksiazkowy]

więc mamy \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y ^{2}}\).


Dalej podstawiając za \(\displaystyle{ 2n+1=x}\) mamy \(\displaystyle{ x ^{2}-8y ^{2}=z ^{2}}\) i tu mam problem

a czy nie \(\displaystyle{ x ^{2}-8y ^{2}=9}\) ...? !!

[agusia141414]

przepraszam... tak...

\(\displaystyle{ x ^{2}-8y ^{2}=9}\)

[mol_ksiazkowy]

no a równanie Pella \(\displaystyle{ x^2- 8y^2 =1}\) ma nieskończona ilosc rozwiazań wiec to tez \(\displaystyle{ (3x)^2- 8(3y)^2 =9}\)

[agusia141414]

ten moment rozumiem... tylko nie rozumiem tego jak dochodzimy do \(\displaystyle{ x^2- 8y^2 =9}\) tej postaci.... poprzez jakie przeksztalcenia....

[mol_ksiazkowy]

poprzez jakie przeksztalcenia....

takie ze \(\displaystyle{ (n-1)(n+2)= \frac{x-3}{2} \cdot \frac{x+3}{2} =2y^2}\)

[agusia141414]

\(\displaystyle{ t _{n-1}t _{n}t _{n+1}=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2} \frac{(n-1)(n+2)}{2}=z^2}\)


Mam cos takiego... wiem że
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}}\) musi byc liczbą kwadratową, dlatego mogę zapisać, że

\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y ^{2}}\)


teraz jak to przeksztalcic... ?


Z odpowiedzi wiem, ze powinnam otrzymac

\(\displaystyle{ x^{2}-8y^{2}=9}\) ??

jest rowniez podpowiedz, że \(\displaystyle{ 2n+1=x}\)

[mol_ksiazkowy]

teraz jak to przeksztalcic... ?

\(\displaystyle{ n=\frac{x-1}{2}}\)

[agusia141414]

ale co mi to dalo??

[mol_ksiazkowy]

Jesli \(\displaystyle{ n=\frac{x-1}{2}}\) to \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y ^{2}}\) i \(\displaystyle{ z=y \frac{n(n+1)}{2}}\)

[agusia141414]

no tak...

Twoim rozumowaniem mamy tez


\(\displaystyle{ z= \frac{y \left( \frac{x-1}{2}+1 \right) \left( \frac{x-1}{2} \right) }{2} =y \left( \frac{x^{2}-1}{8} \right)}\) ale co dalej...

-- 7 kwi 2015, o 21:23 --

umiee ktos pomoc??