liczby trójkątne

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ x, y}\) będa takie że \(\displaystyle{ x^{2}-8y^{2}=9}\) ; oczywiście \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzyste i niech \(\displaystyle{ n =\frac{x-1}{2}}\); to \(\displaystyle{ t_{n-1}t_nt_{n+1}= \left( y\frac{n \left( n+1 \right) }{2} \right) ^2}\)
Np. \(\displaystyle{ x=9 \ y=3 \ n=4}\), \(\displaystyle{ t_{3}t_4t_{5}= \left( 3 \cdot \frac{4 \cdot 5}{2} \right) ^2}\) itp.

[agusia141414]

nie potrzebuje podstawienia, tylko dowod na liczbach ogolnych, poza tym moje pytanie wciaz brzmi tak samo, skad wielo sie rownanie


\(\displaystyle{ x^{2}-8y^{2}=9}\)

[mol_ksiazkowy]

z tego ze
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y ^{2}\\ x=2n+1 \end{cases}}\)

[agusia141414]

z tego ze
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y ^{2}\\ x=2n+1 \end{cases}}\)

oto mi chodzilo. dziękuję!

[SlotaWoj]

Iloczyn trzech kolejnych liczb trójkątnych \(\displaystyle{ t_{n-1}t _nt _{n+1}}\) jest liczba kwadratową, gdy zawarty w nim czynnik \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}}\) jest liczbą kwadratową. Można to zapisać w postaci równania:

• \(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n+2)}{2}=y^2}\)

a po przekształceniu:

• \(\displaystyle{ n^2+n-2(y^2+1)=0}\)

Interesuje nas dodatnie i całkowitokiczbowe rozwiązanie tego równania.

Dodatni pierwiastek (ww. trójmianu kwadratowego) wyraża się wzorem:

• \(\displaystyle{ n=\frac{-1+\sqrt{1+8(y^2+1)}}{2}}\)

a po przekształceniu:

• \(\displaystyle{ (2n+1)^2-8y^2=9}\)

Gdyby podstawić \(\displaystyle{ 2n+1=z}\) , to ww. równanie będzie miało identyczną postać jak ta, którą Agusia14414 podała na wstępie jako rozwiązanie zadania.

Ww. równanie ma następujące dodatnie i całkowitoliczbowe rozwiązania dla \(\displaystyle{ n}\): 4; 25; 148; 865, które znalazłem nieco uproszczoną techniką przy pomocy Excela dla \(\displaystyle{ n\in\left\langle1;3000\right\rangle}\).
Można zauważyć, że w miarę wzrostu n rozwiązania są coraz rzadsze i nie można powiedzieć, że jest ich nieskończenie wiele. Spróbuję w inny sposób znaleźć następne po 865 rozwiązanie ww. równania, jak również poszukać informacji nt. ew. nieskończonej liczby jego rozwiązań.

Nie byłem pewien, czy ww. równanie można uznać za rozwiązanie zadania, ale znalazłem

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_Pella

artykuł nt. równania diofantycznego Pella:

• \(\displaystyle{ x^2-Dy^2=1}\)

które dla całkowitego \(\displaystyle{ D}\) nie będącego kwadratem liczby całkowitej ma nieskończenie wiele rozwiązań i do którego można przekształcić równanie \(\displaystyle{ (2n+1)^2-8y^2=9}\), więc zadanie można uważać za rozwiązane.